Esercizio serie #3

[FinixFighter]

Ciao a tutti, in questo periodo sto studiando le serie numeriche e a volte non riesco a risolvere alcuni esercizi, per cui ho pensato di postarli qui. Questa volta la serie in questione è la seguente:
$ sum_(n = 1) ^(+oo )(e^(1/n)-sqrt(1+2/n))/sqrt(n) $
Io ho provato ad usare le formule di MacLaurin ottenendo che $ e^(1/n)~ 1+1/n $ e $ sqrt(1+2/n)~ 1+1/n $
Solo che in questo modo il denominatore si annulla! Secondo voi posso dire che:
$ (e^(1/n)-sqrt(1+2/n))/sqrt(n)<=(e^(1/n))/n^(1/2) $ per ogni $ nin [1,+oo ) $
e che quindi per il criterio del confronto la serie iniziale è convergente?

[pilloeffe]

Ciao FinixFighter,

Prova a scrivere la serie proposta nella forma seguente:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^(1/n)-sqrt(1+2/n))/sqrt(n) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/sqrt{n} [e^(1/n) - 1 - (sqrt(1+2/n) - 1)] $

Sviluppando in serie e trascurando gli $o$ si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/sqrt{n} [e^(1/n) - 1 - (sqrt(1+2/n) - 1)] $[tex]\sim[/tex] $ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/sqrt{n} [1/n + 1/(2n^2) - (1/n - 1/(2n^2))] = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{5/2} = \zeta(5/2) ~~ 1,3415 $

Si conclude che la serie proposta è convergente.

[FinixFighter]

Ah giusto!!! Grazie mille!!! Gentilissimo