Esercizio serie

[galles90]

Buonasera,

mi chiede di determinare l'eventuale convergenza "ora non ricordo se questo esercizio già l'ho postato, nel'eventualità mi scuso " della $sum_1^(+infty) 1/sqrt(n)-sen(1/sqrt(n))$

Verifico se la serie è termini positivi, ovvero deve risultare $a_n ge 0$
$ 1/sqrt(n)-sen(1/sqrt(n)) ge 0 $ se e soltanto se $1/sqrt(n) ge sen(1/sqrt(n)).$

Essendo che $x ge senx$ per ogni $ x ge 0$, per cui la serie è a termini positivi.

Procedo con il criterio del condronto aintotico,
$n to + infty$ il termine $sen(1/sqrt(n)) to 0$, quindi procedo con lo sviluppo di Taylor della funzione $sen$.

$t=1/sqrt(n)$
$t to 0 $, per $n to infty$

Sviluppo della funzione $sen$ fino all'ordine 2,
$sen(t)=t-t^3/6+o(t^3)$, quindi si ha per $t to 0$ $t-sen(t)=t-t+t^3/6+o(t^3)=t^3/6+o(t^3) ~ t^3/6$

Ricordando la sostituzione fatta, si ha il termine generale della nuova serie $b_n=1/(6(n^(3/2)))$

Quindi la nuova serie, è una serie armonica generalizzata con $alpha=3/2>1$ la quale converge, per cui per il criterio del confronto la serie di partenza converge.

Ci sono errori ?

Buona serata

[Mephlip]

A me sembra corretto! L'unico dettaglio è che il criterio del confronto asintotico richiede che $\lim_{n \to \+infty} \frac{a_n}{b_n}=l\in (0,+\infty)$; in questo caso $l=1$, nel caso fosse stato $l=0$ od $l=+\infty$ sarebbe stato necessario discutere in base alla convergenza/divergenza della serie di $b_n$.

[galles90]

Buongiorno,

quindi l'errore che ho commesso è quello di non aver discusso il limite del rapporto? Quindi devo procedere nella seguente modo:

verifico il valore del limite $l$, del rapporto
individuo nella casistica del criterio, "il punto ideale"
da quì discuto la nuova serie

Cosi ?

Ciao