Esercizio serie
$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$
premetto che è da poco che mi cimento nelle serie però provo a postare una soluzione e vediamo se va bene
siccome so che$sin(1/n)<1$
avremo che
$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$<$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$
applicando il crtiterio della radice al secondo termine
$lim_(ntoinfty)((n+1)/(2n+1))^(n)=0$
siccome $l<1$ la serie converge e di sonseguenza converge anche la serie iniziale
va bene oppure è totalmente sbagliato?
premetto che è da poco che mi cimento nelle serie però provo a postare una soluzione e vediamo se va bene
siccome so che$sin(1/n)<1$
avremo che
$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$<$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$
applicando il crtiterio della radice al secondo termine
$lim_(ntoinfty)((n+1)/(2n+1))^(n)=0$
siccome $l<1$ la serie converge e di sonseguenza converge anche la serie iniziale
va bene oppure è totalmente sbagliato?
Risposte
Ciao lepre561,
Mah, mi pare più comodo applicare direttamente il criterio della radice:
$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty}((n+1)/(2n+1))^{\frac{sin(1/n)}{1/n}} = 1/2 < 1 $
Pertanto la serie proposta è convergente.
Mah, mi pare più comodo applicare direttamente il criterio della radice:
$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty}((n+1)/(2n+1))^{\frac{sin(1/n)}{1/n}} = 1/2 < 1 $
Pertanto la serie proposta è convergente.
ma il mio procedimento è sbagliato?
"lepre561":
$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$<$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$
Si questo passaggio è sbagliato.
perchè?
Riflettici.
ma se $sin(1/n)<=1$ automaticamente mi viene da fare quella disuguaglianza perchè non varia niente
Ma la base è minore di $1$, quindi le disuguaglianze cambiano verso.
$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2*sin(1/n))$>$\sum_{n=1}^infty ((n+1)/(2n+1))^(n^2)$
quindi verrebbe cosi?
però poi non potrei applicare il criterio della radice
quindi verrebbe cosi?
però poi non potrei applicare il criterio della radice
Esatto.
e quindi che criterio uso?
Quello della radice, come ha detto pilloeffe.
"pilloeffe":
Ciao lepre561,
Mah, mi pare più comodo applicare direttamente il criterio della radice:
$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty}((n+1)/(2n+1))^{\frac{sin(1/n)}{1/n}} = 1/2 < 1 $
Pertanto la serie proposta è convergente.
perchè il seno non è sotto radice
"otta96":
Quello della radice, come ha detto pilloeffe.
https://www.****.it/forum/analisi-1/ ... -seno.html
ma quindi è sbagliato anche questo svolgimento?
"lepre561":
perchè il seno non è sotto radice
Perché è all'esponente.
ma perchè non va tutta la serie sotto radice?
Certo che tutta la serie va sotto radice ma per le proprietà delle potenze si può scrivere come l'ha scritta pilloeffe.
Ciao lepre 
Perché la situazione è simile alla seguente e sfrutti la notazione esponenziale razionale:
$a^(n^2b)$ la radice n-esima equivale a 1/n ad esponente con questa notazione (tanto abbiamo base positiva), dunque: $(a^(n^2b))^(1/n)$ cioè equivale a moltpilicare: $a^((n^2b)/n)=a^(nb)=a^(b/(1/n))$.
Perché la situazione è simile alla seguente e sfrutti la notazione esponenziale razionale:
$a^(n^2b)$ la radice n-esima equivale a 1/n ad esponente con questa notazione (tanto abbiamo base positiva), dunque: $(a^(n^2b))^(1/n)$ cioè equivale a moltpilicare: $a^((n^2b)/n)=a^(nb)=a^(b/(1/n))$.
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