Esercizio Serie
Salve a tutti non riesco a svolgere questo esercizio:
Studia se la serie converge o diverge:
$ sum_(n =1 \ldots)^( =oo \ldots) n^n/(n!)^2 $
come primo passaggio dovrei fare il limite per n $ rarr oo $ , di modo che se viene 0, la serie può convergere.
Oppure con quale criterio potrei risolvere l'esercizio??
Grazie
Studia se la serie converge o diverge:
$ sum_(n =1 \ldots)^( =oo \ldots) n^n/(n!)^2 $
come primo passaggio dovrei fare il limite per n $ rarr oo $ , di modo che se viene 0, la serie può convergere.
Oppure con quale criterio potrei risolvere l'esercizio??
Grazie
Risposte
direi che, essendo una serie a termini positivi, viste le successioni in gioco, andrei di criterio del rapporto ...
Si può anche usare la formula di Stirling per stimare asintoticamente gli addendi. 
"Noisemaker":
direi che, essendo una serie a termini positivi, viste le successioni in gioco, andrei di criterio del rapporto ...
facendo il criterio del rapporto mi sono poi bloccata a
$ (n+1)^n/(n^n (n+1) $
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{(n+1)^n }{ n^{n} ( n+1)} =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{ n }\right)^n\frac{1}{ n+1} =\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{ n }\right)^n\frac{1}{ n+1} =e\cdot 0=0
\end{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{(n+1)^n }{ n^{n} ( n+1)} =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{ n }\right)^n\frac{1}{ n+1} =\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{ n }\right)^n\frac{1}{ n+1} =e\cdot 0=0
\end{align}
"Noisemaker":
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{(n+1)^n }{ n^{n} ( n+1)} =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{ n }\right)^n\frac{1}{ n+1} =\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{ n }\right)^n\frac{1}{ n+1} =e\cdot 0=0
\end{align}
quindi essendo 0<1 la serie converge? ma per convergere non doveva essere verificato il test cioè il limite per $ nrarr oo $ della serie iniziale deve essere 0??
si, d'accordo, ma se calcoli il limite del termine generale per verificare che risulta infinitesimo, applicando ad esempio il criterio del rapporto per successioni ottieni che il limite è $0$ e quindi la condizione necessaria di convergenza è verificata; ciò però non ti permette di concludere nulla circa la convergenza della serie, che invece necessita della velocità con cui il termne generale va a $0.$ D'altra parte, se la serie converge, allora sicuramente il termine generale risulta infinitesimo, quindi essendo convergente la serie, sicuramente hai che
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0.\]
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0.\]
concludi che la serie converge per il criterio del rapporto.
"Noisemaker":
concludi che la serie converge per il criterio del rapporto.
Grazie mille, mi sei stato di grande aiuto
Riprendo per un attimo l'idea della stima asintotica.
Per Stirling si ha:
\[
n! \approx S\ \frac{1}{e^n}\ n^{n+\frac{1}{2}}
\]
dunque:
\[
\frac{n^n}{(n!)^2} \approx \frac{\cancel{n^n}\ e^{2n}}{S^2\ n^{\cancel{2}n+1}} = \frac{1}{S^2}\ \frac{e^{2n}}{n^{n+1}}
\]
e l'ultimo termine è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto ad \(1/n\).
Dunque, per il criterio del confronto asintotico, la serie assegnata converge.
Per Stirling si ha:
\[
n! \approx S\ \frac{1}{e^n}\ n^{n+\frac{1}{2}}
\]
dunque:
\[
\frac{n^n}{(n!)^2} \approx \frac{\cancel{n^n}\ e^{2n}}{S^2\ n^{\cancel{2}n+1}} = \frac{1}{S^2}\ \frac{e^{2n}}{n^{n+1}}
\]
e l'ultimo termine è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande rispetto ad \(1/n\).
Dunque, per il criterio del confronto asintotico, la serie assegnata converge.
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