Esercizio (semplice?) sulle derivate
Vi propongo quest'esercizio dall'Acerbi Buttazzo. Non sono riuscito a risolverlo.
Io ho tentato in questo modo, ma ottengo una stima più larga..
Per il teorema di Rolle: $EE xi in (-1,1) t.c. f'(xi)=0$
Allora (esiste $eta$ tale che) $f(x)=f(xi)+f'(xi)(x-xi)+(f''(eta)/2)(x-xi)^2=f(xi)+(f''(eta)/2)(x-xi)^2$.
In particolare c'è uno tra 1 e -1 che dista da $xi$ meno di 1, calcolando il polinomio in questo (per esempio 1):
$0=f(1)=f(xi)+(f''(alpha)/2)(1-xi)^2$ quindi $f(xi)=-(f''(alpha)/2)(1-xi)^2$.
Rimettendo il tutto nella prima equazione che ho scritto ottengo:
$|f(x)|<=|f(xi)|+|((f''(eta))/2)(x-xi)^2|=|((f''(alpha))/2)(x-xi)^2|+|((f''(eta))/2)(x-xi)^2|<=C/2((x-xi)^2+(1-xi)^2)$
Devo quindi provare che $((x-xi)^2+(1-xi)^2)<=1$. Ma non penso sia vero.
Come lo fareste voi?
Sia $f:[-1,1] \to RR$, $f(-1)=f(1)=0$, derivabile due volte, $\forall x : |f''(x)|<=C$.
Allora $\forall x: |f(x)|<=C/2$.
Io ho tentato in questo modo, ma ottengo una stima più larga..
Per il teorema di Rolle: $EE xi in (-1,1) t.c. f'(xi)=0$
Allora (esiste $eta$ tale che) $f(x)=f(xi)+f'(xi)(x-xi)+(f''(eta)/2)(x-xi)^2=f(xi)+(f''(eta)/2)(x-xi)^2$.
In particolare c'è uno tra 1 e -1 che dista da $xi$ meno di 1, calcolando il polinomio in questo (per esempio 1):
$0=f(1)=f(xi)+(f''(alpha)/2)(1-xi)^2$ quindi $f(xi)=-(f''(alpha)/2)(1-xi)^2$.
Rimettendo il tutto nella prima equazione che ho scritto ottengo:
$|f(x)|<=|f(xi)|+|((f''(eta))/2)(x-xi)^2|=|((f''(alpha))/2)(x-xi)^2|+|((f''(eta))/2)(x-xi)^2|<=C/2((x-xi)^2+(1-xi)^2)$
Devo quindi provare che $((x-xi)^2+(1-xi)^2)<=1$. Ma non penso sia vero.
Come lo fareste voi?
Risposte
A me e' venuto cosi':
Prendiamo il punto di massimo $x_0$ per $f$ su $[-1,1]$. Se $x_0$ e' un estremo allora $f(x)\leq f(x_0)=0$ e (da sopra) abbiamo finito. Se no $x_0\in]-1,1[$ e $f'(x_0)=0$
(questo ragionamento e' quello della dim. di Rolle). Applichiamo la formula di Taylor con resto di Lagrange in $x_0$:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2=f(x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2\geq f(x_0)-\frac{C}{2}(x-x_0)^2$ (dove $\xi$ e' compreso tra $x$ e $x_0$
Se scegliamo $x=-1$ oppure $x=1$ a seconda che $x_0$ sia piu' vicino a $-1$ o a $1$ abbiamo $f(x)=0$ e $(x-x_0|)^2<1$ da cui
$f(x_0)<\frac{C}{2}$
ed essendo $f(x_0)$ il massimo otteniamo $f(x)\leq\frac{C}{2}$ per ogni $x$.
Ripetendo lo stesso ragionamento per il minimo otteniamo la tesi.
P.S. Ricordo di aver gia' visto questo problema nel forum e ricordo anche che la soluzione era diversa da quella che ho scritto (ma non mi ricordo quale fosse).
Prendiamo il punto di massimo $x_0$ per $f$ su $[-1,1]$. Se $x_0$ e' un estremo allora $f(x)\leq f(x_0)=0$ e (da sopra) abbiamo finito. Se no $x_0\in]-1,1[$ e $f'(x_0)=0$
(questo ragionamento e' quello della dim. di Rolle). Applichiamo la formula di Taylor con resto di Lagrange in $x_0$:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2=f(x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2\geq f(x_0)-\frac{C}{2}(x-x_0)^2$ (dove $\xi$ e' compreso tra $x$ e $x_0$
Se scegliamo $x=-1$ oppure $x=1$ a seconda che $x_0$ sia piu' vicino a $-1$ o a $1$ abbiamo $f(x)=0$ e $(x-x_0|)^2<1$ da cui
$f(x_0)<\frac{C}{2}$
ed essendo $f(x_0)$ il massimo otteniamo $f(x)\leq\frac{C}{2}$ per ogni $x$.
Ripetendo lo stesso ragionamento per il minimo otteniamo la tesi.
P.S. Ricordo di aver gia' visto questo problema nel forum e ricordo anche che la soluzione era diversa da quella che ho scritto (ma non mi ricordo quale fosse).
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