Esercizio semplice su forma differenziale
Buonasera a tutti.
Di seguito posto la risoluzione di un banalissimo esercizio su una forma differenziale, che mi è utile per capire se ho capito sul serio l'argomento.
Sia data la forma differenziale definita da:
$ omega (x,y) = (2/x + 2) dx + (2/y) dy $
- determinare il dominio D:
che è $ D= {(x,y) != (0,0)} $
- Stabilire se la forma è chiusa:
allora stabilire che la forma è chiusa vuol dire vedere se il rotore è nullo, e dalla definizione di rotore vado a verificare se le derivate parziali incrociate delle componenti sono nulle e già ad occhio si vede che sono entrambe $ 0 $
-Stabilire se la forma è esatta:
allora una forma per essere esatta deve essere:
chiusa (condizione necessaria ma non sufficiente)
il suo dominio deve essere un insieme semplicemente connesso
allora la prima ipotesi è stata verificata.
Per la seconda ipotesi (che udite udite a lezione non abbiamo mai preso in considerazione e neanche enunciato) so che per definizione un insieme è semplicemente connesso se ogni curva chiusa può essere ridotta mediante una deformazione continua ad un unico punto senza mai uscire dall'insieme stesso. Allora in base a tale ipotesi il mio dominio non è semplicemente connesso nella sua totalità, ma poiché è uno stellato lo posso considerare semplicemente connesso facendo delle opportune partizioni giusto? Come ad esempio per intenderci considerare i punti divisi per $(X <0 , Y<0) , (X>0, Y>0) , (X<0, Y>O) , (X>0, Y<0) $
così facendo posso stabilire che la forma è esatta giusto?
-Calcolare una primitiva della forma
Allora poiché la forma è esatta allora ha una primitiva (che sarebbe il potenziale parlando a livello fisico usando il linguaggio dei campi vettoriali)
Scelgo di integrare rispetto a y e ottengo:
$ int_()^()2/ydy = 2 ln|y| + c(x) $
ricavo $c(x)$:
$ 0 + c'(x) = 2/x + 2 $
da cui
$ c(x) = 2 ln|x| + 2x + k $ con $k in R$
quindi la mia primitiva sarà:
$ U(x,y) = 2ln|y|+ 2 ln|x| + 2x + k $
-Calcolare l'integrale della forma lungo $gamma$ che è una circonferenza di centro (4,4) e raggio 2 percorsa in senso antiorario:
allora poiché io so che la forma è chiusa e esatta
$ int_(gamma)^() omega = f(B)-f(A) $
ma poiché la curva è chiusa il valore dell'integrale sarà zero (in termini fisici, poiché il campo vettoriale è conservativo il lavoro lungo una qualunque curva chiusa è nullo)
ora vorrei aprire una piccola parentesi proprio su questo ultimo punto:
se la forma non fosse stata esatta per calcolare il valore dell' integrale avrei avuto due alternative:
1. avrei potuto parametrizzare e risolvere un integrale unidimensionale in $t$ dato dalla formula:
$ int_(gamma)^() omega = int_(a)^(b) F'(t).|r'(t)|dt $
2. visto che la curva lungo la quale devo calcolare l'integrale è chiusa e contiene un dominio sarei anche potuto ricorrere all'applicazione del teorema di Gauss-Green che avrebbe comportato il dover rendere semplice il dominio rispetto a entrambi gli assi possibilmente e il calcolo di un integrale doppio
giusto?
In generale questa idea che mi sono fatto per procedere è corretta o devo rivedere qualcosa? Puntualizzazioni circa gli insiemi semplicemente connessi?
Di seguito posto la risoluzione di un banalissimo esercizio su una forma differenziale, che mi è utile per capire se ho capito sul serio l'argomento.
Sia data la forma differenziale definita da:
$ omega (x,y) = (2/x + 2) dx + (2/y) dy $
- determinare il dominio D:
che è $ D= {(x,y) != (0,0)} $
- Stabilire se la forma è chiusa:
allora stabilire che la forma è chiusa vuol dire vedere se il rotore è nullo, e dalla definizione di rotore vado a verificare se le derivate parziali incrociate delle componenti sono nulle e già ad occhio si vede che sono entrambe $ 0 $
-Stabilire se la forma è esatta:
allora una forma per essere esatta deve essere:
chiusa (condizione necessaria ma non sufficiente)
il suo dominio deve essere un insieme semplicemente connesso
allora la prima ipotesi è stata verificata.
Per la seconda ipotesi (che udite udite a lezione non abbiamo mai preso in considerazione e neanche enunciato) so che per definizione un insieme è semplicemente connesso se ogni curva chiusa può essere ridotta mediante una deformazione continua ad un unico punto senza mai uscire dall'insieme stesso. Allora in base a tale ipotesi il mio dominio non è semplicemente connesso nella sua totalità, ma poiché è uno stellato lo posso considerare semplicemente connesso facendo delle opportune partizioni giusto? Come ad esempio per intenderci considerare i punti divisi per $(X <0 , Y<0) , (X>0, Y>0) , (X<0, Y>O) , (X>0, Y<0) $
così facendo posso stabilire che la forma è esatta giusto?
-Calcolare una primitiva della forma
Allora poiché la forma è esatta allora ha una primitiva (che sarebbe il potenziale parlando a livello fisico usando il linguaggio dei campi vettoriali)
Scelgo di integrare rispetto a y e ottengo:
$ int_()^()2/ydy = 2 ln|y| + c(x) $
ricavo $c(x)$:
$ 0 + c'(x) = 2/x + 2 $
da cui
$ c(x) = 2 ln|x| + 2x + k $ con $k in R$
quindi la mia primitiva sarà:
$ U(x,y) = 2ln|y|+ 2 ln|x| + 2x + k $
-Calcolare l'integrale della forma lungo $gamma$ che è una circonferenza di centro (4,4) e raggio 2 percorsa in senso antiorario:
allora poiché io so che la forma è chiusa e esatta
$ int_(gamma)^() omega = f(B)-f(A) $
ma poiché la curva è chiusa il valore dell'integrale sarà zero (in termini fisici, poiché il campo vettoriale è conservativo il lavoro lungo una qualunque curva chiusa è nullo)
ora vorrei aprire una piccola parentesi proprio su questo ultimo punto:
se la forma non fosse stata esatta per calcolare il valore dell' integrale avrei avuto due alternative:
1. avrei potuto parametrizzare e risolvere un integrale unidimensionale in $t$ dato dalla formula:
$ int_(gamma)^() omega = int_(a)^(b) F'(t).|r'(t)|dt $
2. visto che la curva lungo la quale devo calcolare l'integrale è chiusa e contiene un dominio sarei anche potuto ricorrere all'applicazione del teorema di Gauss-Green che avrebbe comportato il dover rendere semplice il dominio rispetto a entrambi gli assi possibilmente e il calcolo di un integrale doppio
giusto?
In generale questa idea che mi sono fatto per procedere è corretta o devo rivedere qualcosa? Puntualizzazioni circa gli insiemi semplicemente connessi?
Risposte
Scrivo qualcosa di analitico 
Una forma si dice esatta se ammette una primitiva, punto.
La seconda condizione che hai detto, data la prima, è sufficiente ma non necessaria.
Un esempio ce l'hai sotto gli occhi: il tuo dominio D non è semplicemente connesso. Quando il dominio è ottenuto dal piano togliendo un insieme discreto di punti (che chiamerò "punti esclusi") per verificare l'esattezza della forma bisogna verificare che l'integrale lungo una curva (contenuta nel dominio) che racchiude uno dei punti esclusi (e solo uno) è zero, e bisogna fare questo per ogni punto escluso. Poi se non sbaglio è necessario fare lo stesso lavoro per ogni insieme finito di punti esclusi (cioè integrare lungo curve che racchiudono ogni fissato insieme finito di punti esclusi, e vedere che viene zero).
"djyoyo":No, no.
allora una forma per essere esatta deve essere:
chiusa (condizione necessaria ma non sufficiente)
il suo dominio deve essere un insieme semplicemente connesso
Una forma si dice esatta se ammette una primitiva, punto.
La seconda condizione che hai detto, data la prima, è sufficiente ma non necessaria.
Un esempio ce l'hai sotto gli occhi: il tuo dominio D non è semplicemente connesso. Quando il dominio è ottenuto dal piano togliendo un insieme discreto di punti (che chiamerò "punti esclusi") per verificare l'esattezza della forma bisogna verificare che l'integrale lungo una curva (contenuta nel dominio) che racchiude uno dei punti esclusi (e solo uno) è zero, e bisogna fare questo per ogni punto escluso. Poi se non sbaglio è necessario fare lo stesso lavoro per ogni insieme finito di punti esclusi (cioè integrare lungo curve che racchiudono ogni fissato insieme finito di punti esclusi, e vedere che viene zero).
grazie mille per la rapida risposta 
"Martino":
Poi se non sbaglio è necessario fare lo stesso lavoro per ogni insieme finito di punti esclusi (cioè integrare lungo curve che racchiudono ogni fissato insieme finito di punti esclusi, e vedere che viene zero).
Non serve: infatti ogni cammino che racchiude ogni insieme finito di punti esclusi è omotopo alla concatenazione di cammini che racchiudono un solo punto.
"Martino":Ueilà! Ospiti illustri stasera! Martino, sarà mica che la luna piena ti fa strani effetti?
Scrivo qualcosa di analitico
"dissonance":Ueilà! Ospiti illustri stasera! Martino, sarà mica che la luna piena ti fa strani effetti?
[quote="Martino"]Scrivo qualcosa di analitico
[/quote]
Può darsi
Avrei un nuovo esercizio da proporvi:
verificare che la forma
$ omega (x,y) = 1/sqrt(x^2+y^2)dx + (1/y - x/(y sqrt(x^2+y^2)))dy $
è esatta nel suo dominio di definizione e calcolarne la primitiva che nel punto (1,1) assume valore 2.
sono andato a verificare se la forma è chiusa, e lo è perché le derivate incrociate risultano entrambe $ phi'(x,y)= -y(x^2+y^2)^(-3/2) $
a questo punto so che la forma è esatta nel sottodominio $A={(x,y)| x>0,y>0}$
poiché in A è esatta vado a calcolarne una primitiva:
scelgo di integrare rispetto a x:
$ int_()^() 1/sqrt(x^2+y^2) dx $ che risolvendolo per parti mi dà:
$ (2x-1)/(2 sqrt(x^2+y^2)) + c'(y) $
a questo punto vado a determinare $c'(y)$ ed è qui che mi blocco perché dovrei calcolare:
$ c(y)=int_()^() -xy/(x^2+y^2)^(3/2) dy + int_()^() y/(2(x^2+y^2)^(3/2)) dy + int_()^() 1/y dy + int_()^() -x/(y(x^2+y^2)^(1/2)) dy $
e i primi tre li saprei calcolare, ma l'ultimo onestamente non mi vengono in mente ne sostituzioni plausibili e anche per parti non arrivo a nulla.. suggerimenti?
verificare che la forma
$ omega (x,y) = 1/sqrt(x^2+y^2)dx + (1/y - x/(y sqrt(x^2+y^2)))dy $
è esatta nel suo dominio di definizione e calcolarne la primitiva che nel punto (1,1) assume valore 2.
sono andato a verificare se la forma è chiusa, e lo è perché le derivate incrociate risultano entrambe $ phi'(x,y)= -y(x^2+y^2)^(-3/2) $
a questo punto so che la forma è esatta nel sottodominio $A={(x,y)| x>0,y>0}$
poiché in A è esatta vado a calcolarne una primitiva:
scelgo di integrare rispetto a x:
$ int_()^() 1/sqrt(x^2+y^2) dx $ che risolvendolo per parti mi dà:
$ (2x-1)/(2 sqrt(x^2+y^2)) + c'(y) $
a questo punto vado a determinare $c'(y)$ ed è qui che mi blocco perché dovrei calcolare:
$ c(y)=int_()^() -xy/(x^2+y^2)^(3/2) dy + int_()^() y/(2(x^2+y^2)^(3/2)) dy + int_()^() 1/y dy + int_()^() -x/(y(x^2+y^2)^(1/2)) dy $
e i primi tre li saprei calcolare, ma l'ultimo onestamente non mi vengono in mente ne sostituzioni plausibili e anche per parti non arrivo a nulla.. suggerimenti?
Riguardo il primo post.
Ad ogni buon conto, il dominio è sbagliato.
"djyoyo":
Sia data la forma differenziale definita da:
$ omega (x,y) = (2/x + 2) dx + (2/y) dy $
- determinare il dominio D:
che è $ D= {(x,y) != (0,0)} $
Ad ogni buon conto, il dominio è sbagliato.
"gugo82":
Riguardo il primo post.
[quote="djyoyo"]Sia data la forma differenziale definita da:
$ omega (x,y) = (2/x + 2) dx + (2/y) dy $
- determinare il dominio D:
che è $ D= {(x,y) != (0,0)} $
Ad ogni buon conto, il dominio è sbagliato.[/quote]
si hai ragione la notazione che ho usato è forviante, intendevo tutti i punti tali che $x!=0$ e $y!=0$ e non $R^2-{(0,0)}$ scusate..
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