Esercizio scambio integrale e limite

[federico2357]

Ciao a tutti, ho questo esercizio:
Verificare se è vero che $lim_(n->+oo)int_0^(+oo) 1/(1+x^n)dx =int_0^(+oo) lim_(n->+oo)1/(1+x^n)dx$

Ora, io so che se le $f_n$ sono misurabili (e qui lo sono perché continue, vero?) e esiste una $phi$ misurabile tale che $f_n <= phi \quad AA n$, allora $lim int f_n -> int f$ che in questo caso è $f(x) = 0 if x>0$ e $f(x) = 1 if x = 0$

Ora, se spezzo l'integrale in $int_0^a + int_a^(+oo)$, il primo riesco sempre a minorarlo con $1$, e quindi il primo integrale è sempre $<=a$.
Il secondo però mi crea problemi, perché per $n=1$ f_n non è integrabile, mentre oltre sì... cosa posso concludere?? La convergenza dominata deve essere vera PER OGNI $n$, o basta definitivamente?
L'esercizio quindi è vero o no?

Grazie

[regim]

Quando studi un limite, quello che t'interessa è sapere se esiste, e se poi è infinito o finito, quindi se definitivamente la successione ha un senso, va bene, a te interessa il limite, cioè una proprietà delle successioni assunta definitivamente.

[Rigel1]

"federico2357":
Ora, io so che se le $f_n$ sono misurabili (e qui lo sono perché continue, vero?) e esiste una $phi$ misurabile tale che $f_n <= phi \quad AA n$, allora $lim int f_n -> int f$ che in questo caso è $f(x) = 0 if x>0$ e $f(x) = 1 if x = 0$

La funzione maggiorante $\varphi$ deve essere integrabile su $(0,+\infty)$, e non semplicemente misurabile.
Inoltre, in generale la maggiorazione deve essere del tipo $|f_n| \le \varphi$ (in questo caso va tutto bene perché le $f_n$ sono positive).

Trattandosi di un limite, è sufficiente che la maggiorazione sia verificata definitivamente; ad esempio, se prendi
$\varphi(x) = 1$ per $x\in [0,1]$, $\varphi(x) = 1/(1+x^2)$ per $x>1$,
vedi che $\varphi$ è integrabile su $(0,+\infty)$ e maggiora $|f_n|$ per ogni $n\ge 2$.

Il limite puntuale $f$ non è quello da te indicato; tieni conto che $x^n\to 0$ per $x\in [0,1)$.

[dissonance]

[OT] Bentornato Rigel! [/OT]

[Rigel1]

[OT]Grazie.[/OT]