Esercizio risposta multipla e insieme compatto
Ciao a tutti 
sono alle prime armi con degli esercizi di topologia vi volevo chiedere una mano su un esercizio che sto facendo e che mi sta facendo venire alcuni dubbi, premetto che nel corso di Analisi 1 che ho fatto l'argomento non l'abbiamo approfondito moltissimo quindi sicuramente mi mancheranno un bel po di "tasselli"
comunque l'esercito è questo:
Sia \( A \subseteq \Re \) e \( f\in C(A;\Re ) \)
indicare quali delle seguenti affermazioni è vera:
\( \Box \) Se \( f(A) = \Re \) allora A è aperto.
\( \Box \) Se \( \exists \min f,max f \) allora A è compatto.
\( \Box \) Se \( f \) è strettamente crescente allora \( \exists \ c\in A \ tale\ che f(c)=0 \) .
\( \Box \) Se \( f(A) \) non è compatto allora A non è compatto.
\( \Box \) Nessuna delle altre.
Allora la prima affermazione l'ho esclusa perchè se \( f(A)= \Re \), A potrebbe comunque avere dei punti isolati o punti di frontiera e non essere aperto.
Anche la seconda affermazione l'ho esclusa perchè ho pensato ad una funzione la cui immagine oscilla attorno ad un certo valore ma magari il suo dominio non è n'è chiuso n'è limitato e quindi non compatto, non so magari va da \( -\infty\ a\ +\infty \).(su questa però non sono sicurissimo)
La terza l'ho esclusa subito perchè basta pensare all'esponenziale per vedere che non è vera.
Ecco la quarta secondo me è quella giusta, anche se mi lascia dei dubbi, guardando dagl'appunti in particolare dal teorema di Weierstrass che data una funzione \( f:X_1\supset C\rightarrow X_2 \) che sia continua in C, se C è compatto allora anche l'insieme immagine \( f(C) \) è un insieme compatto, ho pensato valesse anche il contrario negato però non so come dimostrarlo e nemmeno che sia effettivamente giusto
(dagl'appunti oltre alla definizione di insieme compatto tramite le successioni e il teorema di Heine-Borel non ho nient'altro) se qualcuno riuscisse a chiarirmi i dubbi magari anche con qualche esempio così capisco un po di più mi farebbe un gran favore 
grazie in anticipo.
sono alle prime armi con degli esercizi di topologia vi volevo chiedere una mano su un esercizio che sto facendo e che mi sta facendo venire alcuni dubbi, premetto che nel corso di Analisi 1 che ho fatto l'argomento non l'abbiamo approfondito moltissimo quindi sicuramente mi mancheranno un bel po di "tasselli"
comunque l'esercito è questo: Sia \( A \subseteq \Re \) e \( f\in C(A;\Re ) \)
indicare quali delle seguenti affermazioni è vera:
\( \Box \) Se \( f(A) = \Re \) allora A è aperto.
\( \Box \) Se \( \exists \min f,max f \) allora A è compatto.
\( \Box \) Se \( f \) è strettamente crescente allora \( \exists \ c\in A \ tale\ che f(c)=0 \) .
\( \Box \) Se \( f(A) \) non è compatto allora A non è compatto.
\( \Box \) Nessuna delle altre.
Allora la prima affermazione l'ho esclusa perchè se \( f(A)= \Re \), A potrebbe comunque avere dei punti isolati o punti di frontiera e non essere aperto.
Anche la seconda affermazione l'ho esclusa perchè ho pensato ad una funzione la cui immagine oscilla attorno ad un certo valore ma magari il suo dominio non è n'è chiuso n'è limitato e quindi non compatto, non so magari va da \( -\infty\ a\ +\infty \).(su questa però non sono sicurissimo)
La terza l'ho esclusa subito perchè basta pensare all'esponenziale per vedere che non è vera.
Ecco la quarta secondo me è quella giusta, anche se mi lascia dei dubbi, guardando dagl'appunti in particolare dal teorema di Weierstrass che data una funzione \( f:X_1\supset C\rightarrow X_2 \) che sia continua in C, se C è compatto allora anche l'insieme immagine \( f(C) \) è un insieme compatto, ho pensato valesse anche il contrario negato però non so come dimostrarlo e nemmeno che sia effettivamente giusto
(dagl'appunti oltre alla definizione di insieme compatto tramite le successioni e il teorema di Heine-Borel non ho nient'altro) se qualcuno riuscisse a chiarirmi i dubbi magari anche con qualche esempio così capisco un po di più mi farebbe un gran favore grazie in anticipo.
Risposte
MA scusa... Se \( A \Rightarrow B \) allora \(\text{non}B \Rightarrow \text{non}A \)... tu hai che se \( K \) è compatto allora anche \( f(K)\) è compatto. Quindi Se \( f(K) \) non è compatto hai che \(K\) non è compatto.
Edit:
Se fai topologia inizia a vedere le funzioni continue come quelle la cui preimmagine di aperti è aperto e i compatti come quegli oggetti che per ogni ricoprimento di aperti esiste un sottoricoprimento finito. Ovvero \( K \) è compatto se per ogni successione di aperti \( \{ U_i \}_{i \in I} \) tale che \( \bigcup_{i \in I} U_i = K \) allora esiste \( J \subset I \) tale che \( \left| J \right| < \infty \) e tale che \( \bigcup_{j \in J} U_j = K \).
Così dovrebbe risultarti chiaro che se \( f(K) \) non è compatto allora \(K\) non è compatto.
Perché se \(f(K)\) non è compatto e \(K\) è compatto allora esiste un ricoprimento di aperti \( \bigcup_{i \in I} V_i = f(K) \) tale che non ammette un sottoricoprimento finito di aperti, ma hai che \( \bigcup_{i \in I} f^{-1}(V_i) = K \) è un ricoprimento di aperti di \(K\) che è compatto da cui puoi estrarre un sottoricoprimento finito tale che
\[ \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j) = K \]
ma allora
\[f(K)= f \left( \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j) \right) \subseteq \bigcup_{j \in J} V_j \]
contraddicendo la non compattezza di \(f(K)\).
Edit:
Se fai topologia inizia a vedere le funzioni continue come quelle la cui preimmagine di aperti è aperto e i compatti come quegli oggetti che per ogni ricoprimento di aperti esiste un sottoricoprimento finito. Ovvero \( K \) è compatto se per ogni successione di aperti \( \{ U_i \}_{i \in I} \) tale che \( \bigcup_{i \in I} U_i = K \) allora esiste \( J \subset I \) tale che \( \left| J \right| < \infty \) e tale che \( \bigcup_{j \in J} U_j = K \).
Così dovrebbe risultarti chiaro che se \( f(K) \) non è compatto allora \(K\) non è compatto.
Perché se \(f(K)\) non è compatto e \(K\) è compatto allora esiste un ricoprimento di aperti \( \bigcup_{i \in I} V_i = f(K) \) tale che non ammette un sottoricoprimento finito di aperti, ma hai che \( \bigcup_{i \in I} f^{-1}(V_i) = K \) è un ricoprimento di aperti di \(K\) che è compatto da cui puoi estrarre un sottoricoprimento finito tale che
\[ \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j) = K \]
ma allora
\[f(K)= f \left( \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j) \right) \subseteq \bigcup_{j \in J} V_j \]
contraddicendo la non compattezza di \(f(K)\).
Ahh perfetto ora ho capito grazie 
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