Esercizio ricerca di estremi
Ciao ragazzi,
potreste darmi una mano con il seguente:
Data l'ellisse di equazione $ x^2+y^2=4 $ si consideri la retta (r) passante per A(2,0) e B(0,1) . Determinare se esistono tutti i punti P dell'ellisse tali che il triangolo APB abbia area massima.
Allora io ho ragionato in questa maniera: l'area del triangolo iscritto nell'ellisse dipende dall'altezza che a sua volta dipende dalla distanza del generico P(x,y) dalla retta congiungente i punti A e B. Quindi considero la funzione d(p,(r))=$ 2sqrt5/5 | 1/2x-y+1| $ e $ x^2+y^2=4 $ come vincolo . E da qui avanzo con il metodo dei moltiplicatori di lagrange.Il ragionamento fatto è corretto ? La funzione di cui devo cercare i massimi è corretta? come mi comporto con il valore assoluto?
Grazie
potreste darmi una mano con il seguente:
Data l'ellisse di equazione $ x^2+y^2=4 $ si consideri la retta (r) passante per A(2,0) e B(0,1) . Determinare se esistono tutti i punti P dell'ellisse tali che il triangolo APB abbia area massima.
Allora io ho ragionato in questa maniera: l'area del triangolo iscritto nell'ellisse dipende dall'altezza che a sua volta dipende dalla distanza del generico P(x,y) dalla retta congiungente i punti A e B. Quindi considero la funzione d(p,(r))=$ 2sqrt5/5 | 1/2x-y+1| $ e $ x^2+y^2=4 $ come vincolo . E da qui avanzo con il metodo dei moltiplicatori di lagrange.Il ragionamento fatto è corretto ? La funzione di cui devo cercare i massimi è corretta? come mi comporto con il valore assoluto?
Grazie
Risposte
Mi sembra che il l'area di $ABP$ sia massima se $P$ è quel punto del terzo quadrante della circonferenza in cui una retta parallela alla $r$ è tangente alla circonferenza.
La tangente è $y=-1/2x-sqrt(5)$ e il punto $P(-2/5sqrt(5), -4/5 sqrt(5))$.
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