Esercizio relativo a invertibilità di funzioni
Salve ragazzi, è la prima che volta che scrivo in questo forum.
Vorrei illustravi le modalità con cui ho svolto l'esercizio che ora andrò a scrivere, per sapere se è corretto (premetto che sono da poco alle prese con problemi di questo tipo, quindi perdonatemi ogni eventuale sciocchezza, ma fatemela notare!)
Si consideri la funzione f: $ RR^2rarr RR ^2 $
defi nita da
$ f(x,y)= (e^x + ay ; x+e^(-ay)) $
1) Trovare i valori di $ a in RR $ per cui tale f è un di ffeomorfi smo locale tra un intorno di$ (x0; y0)$ ed un intorno di $f(x0; y0)$, $ AA (x0;y0) in RR $
2) Per tali valori di $ a $ si provi che l'inversa e de finita in un intorno di (1; 1)
3) Si calcoli la matrice Jacobiana dell'inversa in (1,1).
Ho calcolato la matrice Jacobiana $ ( ( e^{x} , a ),( 1 , -ae^{-ay} ) ) $ il cui determinante è $ -a(e^{x-ay}+1) $, che è diverso da zero per $ a != 0 $ .
Dunque dal teorema della mappa inversa si può concludere che per $ a != 0 $ e per $ AA (x0,y0) in RR ^2 $ f è localmente invertibile e in particolare è un diffeormofismo locale.
Per quanto riguarda il punto 2) credo che la risposta sia inclusa nella soluzione del punto 1).
L'ultimo punto ho fatto così: la matrice jacobiana di $f^-1$ in $(1,1)$ è l'inversa della matrice jacobiana di $f$ in $(f^-1(1,1))$ dove $ f^-1(1,1)= (0,0) $
il fatto che $ f^-1(1,1)= (0,0) $ si deve dimostrare? io l'ho visto diciamo "ad occhio".
Mi rendo conto di aver fatto tutto questo forse in maniera troppo semplicistica o non rigorosa, comunque spero di essere stata chiara e aspetto i vostri consigli! grazie
Vorrei illustravi le modalità con cui ho svolto l'esercizio che ora andrò a scrivere, per sapere se è corretto (premetto che sono da poco alle prese con problemi di questo tipo, quindi perdonatemi ogni eventuale sciocchezza, ma fatemela notare!)
Si consideri la funzione f: $ RR^2rarr RR ^2 $
defi nita da
$ f(x,y)= (e^x + ay ; x+e^(-ay)) $
1) Trovare i valori di $ a in RR $ per cui tale f è un di ffeomorfi smo locale tra un intorno di$ (x0; y0)$ ed un intorno di $f(x0; y0)$, $ AA (x0;y0) in RR $
2) Per tali valori di $ a $ si provi che l'inversa e de finita in un intorno di (1; 1)
3) Si calcoli la matrice Jacobiana dell'inversa in (1,1).
Ho calcolato la matrice Jacobiana $ ( ( e^{x} , a ),( 1 , -ae^{-ay} ) ) $ il cui determinante è $ -a(e^{x-ay}+1) $, che è diverso da zero per $ a != 0 $ .
Dunque dal teorema della mappa inversa si può concludere che per $ a != 0 $ e per $ AA (x0,y0) in RR ^2 $ f è localmente invertibile e in particolare è un diffeormofismo locale.
Per quanto riguarda il punto 2) credo che la risposta sia inclusa nella soluzione del punto 1).
L'ultimo punto ho fatto così: la matrice jacobiana di $f^-1$ in $(1,1)$ è l'inversa della matrice jacobiana di $f$ in $(f^-1(1,1))$ dove $ f^-1(1,1)= (0,0) $
il fatto che $ f^-1(1,1)= (0,0) $ si deve dimostrare? io l'ho visto diciamo "ad occhio".
Mi rendo conto di aver fatto tutto questo forse in maniera troppo semplicistica o non rigorosa, comunque spero di essere stata chiara e aspetto i vostri consigli! grazie
Risposte
[Cancellato.]
uhm sono un pò confusa... cioè quando mi chiede " Per tali valori di $ a $ si provi che l'inversa è de finita in un intorno di $ (1; 1) $ " ho inteso che devo vedere se f è invertibile in un intorno di un certo $ (x0,y0) $ tale che $ f(x0,y0)=(1,1) $ e quindi $ f^-1 $ è definita in un intorno di $ (1,1) $; riallacciandomi a quanto hai detto tu, dovrei mostrare che effettivamente $(0,0) in f^-1(Omega)$.
é corretto quello che dico? e il resto dell'esercizio è fatto bene? grazie!!!!
é corretto quello che dico? e il resto dell'esercizio è fatto bene? grazie!!!!
Mi scuso ma ho sbagliato suggerimento.
Essendo [tex]$f(0;0)=(1;1)$[/tex] e poiché [tex]$f$[/tex] è localmente invertibile in [tex]$(0;0)$[/tex] allora è [tex]$f^{-1}(1;1)=(0;0)$[/tex] e procedi come volevi.
Essendo [tex]$f(0;0)=(1;1)$[/tex] e poiché [tex]$f$[/tex] è localmente invertibile in [tex]$(0;0)$[/tex] allora è [tex]$f^{-1}(1;1)=(0;0)$[/tex] e procedi come volevi.
grazie!
Prego, di nulla! 
Se tu volessi continuare ad esercitarti potresti studiare la globale invertibilità.
Se tu volessi continuare ad esercitarti potresti studiare la globale invertibilità.
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