Esercizio regolarità unione curve
Sia la curva del piano R2 unione della curva 1, che congiunge (2,0) con (0,3) lungo
l’arco di ellisse $x^2/4+y^2/9=1$ contenuto nel primo quadrante, e della curva 2, che congiunge
(0,3) con (0,1) lungo l’arco di circonferenza $x^2+(y-2)^2=1$ con $x<=0$.
Stabilire se è regolare e verificare nei punti di unione.
Io so che una curva è regolare se la sua rappresentazione parametrica è continua e derivabile in [a,b] e la derivata della parametrizzazione è diversa da zero per ogni t in [a,b].
E curva regolare a tratti come una curva il cui dominio I è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare.
Quindi se fosse una sola curva farei scriverei la parametrizzazione, calcolerei la derivata e verificherei che sia diversa da zero per ogni t e continua e derivabile.
Qui ho 2 curve:
$\{(x(t) = 3cost),(y(t)= 2sint):}$ $\{(x'(t) = -3sint),(y'(t)= 2cost):}$
$\{(x(t) = cost),(y(t)= 2+sint):}$ $\{(x'(t) = -sint),(y'(t)= cost):}$
Sono continue e derivabili e sempre diverso da zero. Quindi posso dire la curva unione delle due curve è regolare.
A volte la nostra prof quando ci sono esercizi con due curve guarda solo il disegno e dice che ci sono punti angolosi o no e dice se è regolare o no, regolare a tratti.
Oppure a volte usa il versore tangente nei punti di unione per verificare la regolarità. Ma non dovrebbe calcolare il limite della derivata da destra e sinistra in quel punto(che non saprei come fare con le parametrizzazioni)?
Se qualcuno mi può far vedere lui come farebbe questo esercizio, grazie.
l’arco di ellisse $x^2/4+y^2/9=1$ contenuto nel primo quadrante, e della curva 2, che congiunge
(0,3) con (0,1) lungo l’arco di circonferenza $x^2+(y-2)^2=1$ con $x<=0$.
Stabilire se è regolare e verificare nei punti di unione.
Io so che una curva è regolare se la sua rappresentazione parametrica è continua e derivabile in [a,b] e la derivata della parametrizzazione è diversa da zero per ogni t in [a,b].
E curva regolare a tratti come una curva il cui dominio I è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare.
Quindi se fosse una sola curva farei scriverei la parametrizzazione, calcolerei la derivata e verificherei che sia diversa da zero per ogni t e continua e derivabile.
Qui ho 2 curve:
$\{(x(t) = 3cost),(y(t)= 2sint):}$ $\{(x'(t) = -3sint),(y'(t)= 2cost):}$
$\{(x(t) = cost),(y(t)= 2+sint):}$ $\{(x'(t) = -sint),(y'(t)= cost):}$
Sono continue e derivabili e sempre diverso da zero. Quindi posso dire la curva unione delle due curve è regolare.
A volte la nostra prof quando ci sono esercizi con due curve guarda solo il disegno e dice che ci sono punti angolosi o no e dice se è regolare o no, regolare a tratti.
Oppure a volte usa il versore tangente nei punti di unione per verificare la regolarità. Ma non dovrebbe calcolare il limite della derivata da destra e sinistra in quel punto(che non saprei come fare con le parametrizzazioni)?
Se qualcuno mi può far vedere lui come farebbe questo esercizio, grazie.
Risposte
il metodo analitico e quello grafico devono ovviamente portare agli stessi risultati, in questo caso disegnare le curve è piuttosto semplice e si vede subito che la loro unione è "liscia" ed esiste il versore tangente
Ok grazie, ma se volessi verificare nel punto di unione come dovrei fare?
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