Esercizio radici numero complesso

[Summerwind78]

Ciao a tutti

devo trovare il valore di $z$ tale per cui

$z^2 = 4|z|$

e ho alcuni dubbi

io ho pensato di procedere in questo modo:

ovviamente ho la soluzione triviale $z=0$


siccome $|z| = z bar(z) $ ho

$z^2 = 4z bar(z) -> z=4 bar(z)$

che nella forma esponenziale mi da

$rho e^(i varphi) = 4 rho e^(-i varphi) $

$(rho e^(i varphi))/(rho e^(-i varphi)) =4 -> rho e^(2i varphi)=4$

da cui deduco che $rho=4$ è corretto?

inoltre ho che

$cos(2 varphi) + i sin(2 varphi) = 1-> 2varphi = 0, 2varphi = pi$

da cui

$varphi = 0$ oppure $varphi = pi/2$

in questo modo mi troverei come soluzioni $z=x+iy$:

$x=4, y=0$ oppure $x=0, y=4$

a me verrebbe intuitivamente da pesare che sia sbagliato, in quanto, stando a quello che ricordo, le radici essendo di un quadrato dovrebbero essere di sogno opposto

potreste aiutarmi a capire cosa sbaglio?

grazie mille

[quantunquemente]

$rhoe^(i2theta)=4$ implica $rho=4$ e $2theta =2kpi$
quindi $theta=0$ o $theta =pi$
in pratica tutte le solzuioni sono $0,4,-4$

[Zero87]

"Summerwind78":Ciao a tutti
devo trovare il valore di $z$ tale per cui
$z^2 = 4|z|$

Salve a te, voglio proporre un metodo alternativo e forse anche più semplice.
Notiamo che il secondo membro dell'equazione è un numero reale (def. di modulo) così lo deve essere anche il primo.

Ci si chiede, come deve essere $z$ per essere $z^2 \in \RR$? Semplice, o $z$ è reale oppure è puramente immaginario. Ponendo $z=x+iy$ con $x,y \in \RR$, $z=x$ oppure $z=iy$. Dunque:
- Se $z=x$ si ha $x^2=4|x|$ con soluzione, oltre allo zero, $x=\pm 4$.
- Se $z=iy$ si ha $-y^2=4 \sqrt(y^2)$ che non ha soluzione perché $y\in \RR$ (verrebbe $y=\pm 4i$).

[Summerwind78]

Grazie mille

entrambi i metodi mi sono stati utili

il secondo lo definirei "più fantasioso" ma è un ottimo spunto

Saluti