Esercizio - Punti Critici in due variabili, Hessiano nullo.
Salve ragazzi, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
Ho provato a cercarne altri con la funzione cerca ma tutti gli esercizi di questo tipo non si avvicinano al problema in questione...
Trovare i punti critici, stabilendone la natura della funzione: $f(x,y)=y^4+xy^7$
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Per determinare i punti critici:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=0 \)
cioè
\(\displaystyle f_x (x,y) = y^7 = 0\)
\(\displaystyle f_y (x,y) = 4y^3+7xy^6 = 0 \)
risolvo il sistema ed ottengo:
\(\displaystyle \nabla f(x,y) = 0 \rightarrow P (h,0) \)
quindi ho infiniti punti critici, in particolare tutta l'asse delle ascisse.
A questo punto provo ad usare il metodo dell'hessiano ma ottengo (ometto i calcoli): \(\displaystyle det (H(f(h;0))) = 0 \)
Dunque il metodo dell'Hessiano non è valido.
Decido di usare il metodo del segno, studiando l'intorno dei punti critici:
\(\displaystyle \Delta f=f(x,y)-f(h,0)>=0 \) dove \(\displaystyle f(h,0)=0 \)
\(\displaystyle \Delta f=f(x,y)>=0 \)
\(\displaystyle y^4+xy^7>=0 \)
\(\displaystyle y^4(1+xy^3)>=0 \)
\(\displaystyle (1+xy^3)>=0 \)
A questo punto mi sono disegnato il grafico della funzione \(\displaystyle 1+xy^3=0 \) che è simile ad un'iperbole, per intenderci il grafico è il seguente:
Dove, secondo quanto dice la disequazione:
Tutti i punti all'interno della funzione sono positivi
Tutti i punti all'esterno della funzione sono negativi
L'asse delle ascisse rappresenta tutti i punti critici
A questo punto mi blocco e non capisco se le mie considerazioni sono vere:
La funzione tende a zero nei pressi dell'asse x (l'ho dimostrato svolgendo i limiti) senza mai "toccarlo", dunque esiste almeno un intorno per i punti $P(h,0)$ in cui la funzione assume sempre valori positivi: i punti $P(h,0)$ sono punti di minimo per la funzione. E' giusto?
Il problema è che facendo il plot 3D della funzione mi viene una cosa di questo tipo, in cui non mi sembra siano punti di minimo, piuttosto di flesso orizzontale, i quali non so se possono essere definiti punti di sella.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Ringrazio in anticipo chiunque avrà voglia di darmi una mano
Ho provato a cercarne altri con la funzione cerca ma tutti gli esercizi di questo tipo non si avvicinano al problema in questione...
Trovare i punti critici, stabilendone la natura della funzione: $f(x,y)=y^4+xy^7$
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Per determinare i punti critici:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=0 \)
cioè
\(\displaystyle f_x (x,y) = y^7 = 0\)
\(\displaystyle f_y (x,y) = 4y^3+7xy^6 = 0 \)
risolvo il sistema ed ottengo:
\(\displaystyle \nabla f(x,y) = 0 \rightarrow P (h,0) \)
quindi ho infiniti punti critici, in particolare tutta l'asse delle ascisse.
A questo punto provo ad usare il metodo dell'hessiano ma ottengo (ometto i calcoli): \(\displaystyle det (H(f(h;0))) = 0 \)
Dunque il metodo dell'Hessiano non è valido.
Decido di usare il metodo del segno, studiando l'intorno dei punti critici:
\(\displaystyle \Delta f=f(x,y)-f(h,0)>=0 \) dove \(\displaystyle f(h,0)=0 \)
\(\displaystyle \Delta f=f(x,y)>=0 \)
\(\displaystyle y^4+xy^7>=0 \)
\(\displaystyle y^4(1+xy^3)>=0 \)
\(\displaystyle (1+xy^3)>=0 \)
A questo punto mi sono disegnato il grafico della funzione \(\displaystyle 1+xy^3=0 \) che è simile ad un'iperbole, per intenderci il grafico è il seguente:
Dove, secondo quanto dice la disequazione:
Tutti i punti all'interno della funzione sono positivi
Tutti i punti all'esterno della funzione sono negativi
L'asse delle ascisse rappresenta tutti i punti critici
A questo punto mi blocco e non capisco se le mie considerazioni sono vere:
La funzione tende a zero nei pressi dell'asse x (l'ho dimostrato svolgendo i limiti) senza mai "toccarlo", dunque esiste almeno un intorno per i punti $P(h,0)$ in cui la funzione assume sempre valori positivi: i punti $P(h,0)$ sono punti di minimo per la funzione. E' giusto?
Il problema è che facendo il plot 3D della funzione mi viene una cosa di questo tipo, in cui non mi sembra siano punti di minimo, piuttosto di flesso orizzontale, i quali non so se possono essere definiti punti di sella.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Ringrazio in anticipo chiunque avrà voglia di darmi una mano
Risposte
Ciao TeM , grazie mille per la risposta chiara ed esautiva!
In sintesi lo svolgimento era corretto, ma il risultato del plot 3D mi aveva fatto venire un sacco di dubbi.
Come hai consigliato per le prossime volte cercherò di non lasciarmi ingannare e scegliere accuratamente i fattori di scala nelle rappresentazioni.
Volevo chiedere un'ultima cosa, questa considerazione che mi hai suggerito è molto interessante:
Hai qualche consiglio su dove posso approfondire l'argomento?
Perchè vorrei essere in grado di dimostrare questa cosa e poterla usare poi in sede d'esame, mi risparmierebbe un sacco di calcoli
In sintesi lo svolgimento era corretto, ma il risultato del plot 3D mi aveva fatto venire un sacco di dubbi.
Come hai consigliato per le prossime volte cercherò di non lasciarmi ingannare e scegliere accuratamente i fattori di scala nelle rappresentazioni.
Volevo chiedere un'ultima cosa, questa considerazione che mi hai suggerito è molto interessante:
"TeM":
per questioni di convessità, se i punti critici non sono isolati, la matrice hessiana è sicuramente
semidefinita!
Hai qualche consiglio su dove posso approfondire l'argomento?
Perchè vorrei essere in grado di dimostrare questa cosa e poterla usare poi in sede d'esame, mi risparmierebbe un sacco di calcoli
Grazie TeM, sei stato chiarissimo! 
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