Esercizio prodotto di convoluzione
Salve propongo questo esercizio di teoria della misura assieme alla soluzione che mi è stata data.
ESERCIZIO (TESTO)
sia \( \varphi \in L^1(R^n) t.che \varphi (x) = 0\) per ogni x, \( |x|>1 \) e \( \int_{R^n} \varphi =0 \)
per ogni \( \epsilon >0 \) si ponga:
\( \varphi_\epsilon (x)= \epsilon^n \varphi (x/\epsilon) \).
posto poi 1 \( \leq p < \infty \) e presa \( f \in L^p(R^n) \) provare che \( || \varphi_\epsilon * f||_p \rightarrow 0 \) (con * prodotto di convoluzione)
SOLUZIONE (presunta..)
\( || \varphi_\epsilon * f||_p = || \int_{R^n} \varphi(x-y)f(y) d\mu(y) ||_p \)
fin qui va bene perchè ho solo applicato la definizione di prodotto di convoluzione..
ora aggiungo un pezzo nullo (ma perchè è nullo???perche f(x) non ha come argomento y rispetto alla quale integro??)
\(|| \int_{R^n} \varphi(x-y)f(y) d\mu(y) - \int_{R^n} \varphi(x-y)f(x) d\mu(y) ||_p \)
questo è
\( \leq \int_{R^n} \varphi(z)||f(x-z)-f(x) ||_p d\mu(???x-z???) \)
che è (detto \( w_p(\epsilon)\) modulo di continuità)
\( \leq w_p(\epsilon) \int_{R^n} \varphi _\epsilon (z)= \) per epsilon che tende a zero \(\rightarrow 0\)
qesto tende a 0 perchè il modulo di continuità tende a zero e va bene e \( \int_{R^n} \varphi _\epsilon (z) \) posso dire che è piccolo (e in particolare limitato) perchè per le ipotesi assegnate \(\varphi _\epsilon \) è nullo fuori da una palla di raggio epsilon e centro 0 ??
grazie mille!
ESERCIZIO (TESTO)
sia \( \varphi \in L^1(R^n) t.che \varphi (x) = 0\) per ogni x, \( |x|>1 \) e \( \int_{R^n} \varphi =0 \)
per ogni \( \epsilon >0 \) si ponga:
\( \varphi_\epsilon (x)= \epsilon^n \varphi (x/\epsilon) \).
posto poi 1 \( \leq p < \infty \) e presa \( f \in L^p(R^n) \) provare che \( || \varphi_\epsilon * f||_p \rightarrow 0 \) (con * prodotto di convoluzione)
SOLUZIONE (presunta..)
\( || \varphi_\epsilon * f||_p = || \int_{R^n} \varphi(x-y)f(y) d\mu(y) ||_p \)
fin qui va bene perchè ho solo applicato la definizione di prodotto di convoluzione..
ora aggiungo un pezzo nullo (ma perchè è nullo???perche f(x) non ha come argomento y rispetto alla quale integro??)
\(|| \int_{R^n} \varphi(x-y)f(y) d\mu(y) - \int_{R^n} \varphi(x-y)f(x) d\mu(y) ||_p \)
questo è
\( \leq \int_{R^n} \varphi(z)||f(x-z)-f(x) ||_p d\mu(???x-z???) \)
che è (detto \( w_p(\epsilon)\) modulo di continuità)
\( \leq w_p(\epsilon) \int_{R^n} \varphi _\epsilon (z)= \) per epsilon che tende a zero \(\rightarrow 0\)
qesto tende a 0 perchè il modulo di continuità tende a zero e va bene e \( \int_{R^n} \varphi _\epsilon (z) \) posso dire che è piccolo (e in particolare limitato) perchè per le ipotesi assegnate \(\varphi _\epsilon \) è nullo fuori da una palla di raggio epsilon e centro 0 ??
grazie mille!
Risposte
La soluzione è giusta, così a naso.
L'integrale di \(\phi_\epsilon\) lo puoi calcolare a mano con una sostituzione.
Inoltre, \(x-z\) viene fuori con la sostituzione \(y=x-z\).
Sono passaggi banali assai, quindi non vedo che difficoltà ci possano essere.
L'integrale di \(\phi_\epsilon\) lo puoi calcolare a mano con una sostituzione.
Inoltre, \(x-z\) viene fuori con la sostituzione \(y=x-z\).
Sono passaggi banali assai, quindi non vedo che difficoltà ci possano essere.
A volte le cose che sembrano banali per una persona non lo sono per un'altra. Molti professori lo dimenticano.
Comunque il mio dubbio non era come ricavare x-z ma se posso scrivere d\mu(x-z)...io lo chiedo perchè non si sa mai...per me sì..
Comunque il mio dubbio non era come ricavare x-z ma se posso scrivere d\mu(x-z)...io lo chiedo perchè non si sa mai...per me sì..
Quali sono le proprietà che caratterizzano la misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^N\)?
Io so che la misura esterna di Lebesgue è invariante per traslazioni (anche se non ho una dimostrazione). So che gli intervalli sono misurabili secondo Lebesgue e che posso dire se un insieme è di lebesgue o meno grazie al teorema di caratterizzazione di Leb...ma che centra??
"miciomatta":
Io so che la misura esterna di Lebesgue è invariante per traslazioni
Bene... Ma in generale la misura di Lebesgue è invariante per movimenti rigidi (i.e., rotazioni, simmetrie e traslazioni combinate fra loro).
Questo è tutto ciò che ti serve per stabilire che \(\text{d} \mu_y = \text{d} \mu_z\)
"miciomatta":
(anche se non ho una dimostrazione).
Prova a farla da te... Nessuno te lo vieta.
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