Esercizio problema di Cauchy

[Shika93]

Non riesco a venire a capo di questo problema
\begin{cases}
y'(x)=-\frac{y(x)}{1+e^{y(x)}}\\
y(0)=1
\end{cases}
in cui devo determinare la soluzione locale e globale.
Ho già la soluzione, ma non capisco cosa fa.
Se prendo la funzione $f(x,y)=-y/(1+e^y)$ vedo che è $C^\infty(\RR^2)$ quindi esiste una soluzione locale unica per il teorema di Cauchy-Lipschitz.
Per vedere se esiste una soluzione globale, controllo se $y'$ è limitato, e qui la soluzione fa
[tex]|y'|\leq \begin{cases}
1+\frac{|y|}{1+e^y}\leq c & \text{ per } y>0 \\
1+\frac{|y|e^y}{1+e^y}\leq c' & \text{ per } y<0
\end{cases}
\leq max \left \{ c,c' \right \}[/tex]
e non capisco perchè prenda il modulo e come determini le due soluzioni per y>0 e y<0. Ovviamente prendendo il massimo vede che la funzione è limitata e quindi che esiste una soluzione globale.

A questo calcola i limiti e qui mi perdo completamente.
[tex]\exists \lim_{x \rightarrow -\infty} y(x)=l^{-} >1[/tex] perchè $y'(x)<0$, quindi $y(x)>0 \AA x\in\RR$
quindi
[tex]\exists l^{+}=\lim_{x \rightarrow \infty}y(x) \in [0,1)[/tex] e $y'(x) \overset{x\rightarrow\infty}{\rightarrow} -l^{+}/(1+e^{l^{+}})=0 \Rightarrow l^{+}=0, l^{-}=+\infty$

Poi calcola la derivata seconda per trovare vedere il segno e la approssima non ho capito come.
$y''(x)=(e^y (y-1)-1)/(1+e^y)^2 ~-y^2/(1+e^y)^2 <0$ per $x\rightarrow -\infty (y\rightarrow +\infty)$
quindi facendo il grafico della soluzione si vede che va da $-\infty$ a $+\infty$ passando per 1

Qualcuno riesce a spiegarmi cosa stiamo facendo e perchè non posso trovare le soluzioni integrando per variabili separabili?

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi Superiore.[/xdom]