Esercizio probabilità con 2 var aleatorie

[saretta6996]

Ciao a tutti, ecco un altro esercizio di probabilità e statistica sulle variabili aleatorie.

Si considerino le variabili aleatorie X e Y che possono assume i valori +1 e -1. La loro distribuzione congiunta è data da:
P(X = 1; Y=1) = 1/4
P(X = 1; Y = -1) = 1/3
P(X = -1; Y = 1) = 1/12
P(X = -1; Y = -1) = 1/3
Determinare le distribuzioni di probabilità di X e di Y, determinare se sono indipendenti e calcolare la covarianza.

Ripetere il tutto per il caso:
P(X = 1; Y = 1) = 1/4
P(X = 1; Y = -1) = 1/12
P(X = -1; Y = 1) = 1/2
P(X = -1; Y = -1) = 1/6

[davi02]

P(X = 1) = P(X = 1, Y = 1) + P(X = 1, Y = –1) = 7/12
P(X = –1) = P(X = –1, Y = 1) + P(X = –1, Y = –1) = 5/12
P(Y = 1) = P(X = 1, Y = 1) + P(X = –1, Y = 1) = 4/12
P(Y = –1) = P(X = 1, Y = –1) + P(X = –1, Y = –1) = 8/12

P(X = 1, Y = 1) ≠ P(X = 1)P(Y = 1)
perciò X, Y non sono indipendenti

E(X) = 1•7/12 – 1•5/12 = 2/12
E(Y) = 1•4/12 – 1•5/12 = –4/12
E(XY) = 1•(1/4 + 1/3) – 1•(1/3 + 1/12) = 1/6

Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 1/6 + 8/144 = 2/9

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P(X = 1) = P(X = 1, Y = 1) + P(X = 1, Y = –1) = 1/3
P(X = –1) = P(X = –1, Y = 1) + P(X = –1, Y = –1) = 2/3
P(Y = 1) = P(X = 1, Y = 1) + P(X = –1, Y = 1) = 3/4
P(Y = –1) = P(X = 1, Y = –1) + P(X = –1, Y = –1) = 1/4

Si verifica che, per ognuna delle quattro coppie (±1, ±1) si ha
P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b)
perciò X, Y sono indipendenti.
Ne segue che Cov(X, Y) = 0 (verificalo anche con la formula usata sopra).

ciao

[saretta6996]

Sei preziosissimo :D:D:D Accie!!!!!! :bounce