Esercizio Principio di Induzione

[andmath]

Salve ragazzi ho un problema con lo svolgimento di questo esercizio:

n^2 > 2n +1 per n>=3
La base dell'induzione è banale ( chiaramente verificata per n>=3 ), per quanto riguarda il passo induttivo
una volta posto p(n) = n^2 > 2n +1 vera
p(n+1) = (n+1)^2 > 2 ( n+1 ) +1 ottengo n^2 + 2n + 1 > 2n + 3 da qui in poi non capisco come continuare

[kobeilprofeta]

Supponiamo p (n) vera, vogliamo dimostrare che p (n+1) è vera , cioè che $(n+1)^2>2*(n+1)+1$

Parto da $n^2>2n+1$ aggiungo 1
$n^2+1>2*(n+1) $ aggiungo 2n
$(n+1)^2>2*(n+1)+2n $, ma il membro di destra è più grande di $2*(n+1)+1$ (infatti 2n>1) e ho concluso

[andmath]

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta
non capisco questo " aggiungo 1 " e "aggiungo 2n " da cosa scaturisca
edit:
anzi penso di aver capito in pratica dovrei ragionare come ( n+1) ^ 2 come n + 1 + 2n e quindi aggiungo a destra e a sinistra prima +1 e poi + 2n , così se quella relazione è verificata essere maggiore allora automaticamente lo sarà anche rispetto a 2(n+1)+1 ... giusto?

[kobeilprofeta]

Ywp

Aggiungendo la stessa quantità ad entrambi i membri, la disuguaglianza rimane vera
quindi io aggiungo cose comode che so che mi porteranno (n+1)^2 al primo membro

[andmath]

perfetto grazie, ogni esercizio con il principio di induzione mi sta portando a "scorciatoie " risolutive diverse

[kobeilprofeta]

in che senso?
più o meno l'idea è sempre quella


fammi un esempio di "scorciatoia" diversa