Esercizio principio di induzione

[Ema-851]

Buonasera, non riesco a dimostrare il seguente esercizio con il principio di induzione.

$ 2+4+8+...+2^n=2^(n+1) -2$
Per n=1 e' verificata agevolmente. Poi nella dimostrazione per n+1, arrivo a: $ 2(2^n+2^n-1)=2^(n+2)-2 $

A questo punto,a meno di non aver fatto errori, non riesco a dimostrare l'uguaglianza.

Ringrazio chi volesse aiutarmi.

[axpgn]

Ma come ...
Non so se arrivare fin lì è corretto ma a quel punto è fatta ...

$ 2(2^n+2^n-1)=2^(n+2)-2 $

$ 2(2*2^n-1)=2^(n+2)-2 $

$ 2*2*2^n-2=2^(n+2)-2 $

$ 2^(n+2)-2=2^(n+2)-2 $

Cordialmente, Alex

[CaMpIoN]

Allora, sapendo che la proprietà è vera per $n=1$ diamola per vera per $n$ e dimostriamo che è vera per $n+1$.
Innanzitutto la tua identità la scriverei come
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n 2^i=2^{n+1}-2 \)
Quindi avendo $n+1$ si ha
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} 2^i=2^{n+1+1}-2 \)
Estraiamo dalla sommatoria l'ultimo termine
\(\displaystyle 2^{n+1}+\sum_{i=1}^n 2^i=2^{n+1+1}-2 \)
Quindi estraiamo il 2 dalla potenza
\(\displaystyle 2^{n+1}+\sum_{i=1}^n 2^i=2 \cdot 2^{n+1}-2=2^{n+1}+2^{n+1}-2 \)
Hai
\(\displaystyle 2^{n+1}+\sum_{i=1}^n 2^i=2^{n+1}+2^{n+1}-2 \)
Semplificando ottieni
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n 2^i=2^{n+1}-2 \)
Che è l'identità con $n$ data per vera.
Quindi la proprietà è dimostrata.

[Ema-851]

Grazie ad entrambi per chiarezza e disponibilità.