Esercizio polinomio trigonometrico

[nicolae1]

potreste darmi una mano su un esercizio?
eccolo, chiede di calcolare:
$ sum_(K =-N ) ^N e^(iKx) $

in aula, il prof l'ha svolto così:

$ sum_(K =-N ) ^N e^(iKx) = e^-(iNx)*sum_(K =-N ) ^N e^(i(K+N)x) = e^-(iNx)*sum_(h=0 ) ^(2N) e^(ihx) = e^-(iNx)*sum_(h=0 ) ^(2N) e^((ix)^h)= $
$rArr e^-(iNx)*( (e^((ix)^(2N+1)) -1)/(e^(ix)-1))$

non capisco l'ultimo passaggio, quello dopo la freccia.

[Lo_zio_Tom]

è una progressione geometrica. Supponi di avere:

$S=1+q+q^2+...+q^n$

moltiplica ambo i membri per q e ottieni

$Sq=q+q^2+...+q^n+q^(n+1)$

sottrai membro a membro

$S(q-1)=q^(n+1)-1$

e ottieni

$S=(q^(n+1)-1)/(q-1)$

[nicolae1]

scusami, ma cosa intendi per "sottrai membro a membro" ?

[Lo_zio_Tom]

"nicolae":scusami, ma cosa intendi per "sottrai membro a membro" ?

intendo dire che hai due equazioni:

$S=1+q+q^2+...+q^n$
$Sq=q+q^2+...+q^n+q^(n+1)$



e fai la sottrazione....il primo membro della seconda meno il primo membro della prima....il secondo membro della seconda equazione meno il secondo membro della prima....ottieni così una nuova equazione:

$S(q-1)=(q^(n+1)-1)$, ovvero:

$S=(q^(n+1)-1)/(q-1)$

...è più chiaro?

se ora poni $q=(e^(ix))$ e $n=2N$ ottieni esattamente quanto il prof ha scritto fra parentesi (una volta corretto l'errore di copiatura, come evidenziato da dan95)

[dan952]

Non è $e^{(ix)^h}$ ma $(e^{ix})^h$ hai copiato male

[nicolae1]

grazie mille!