Esercizio piano tangente
Buonasera, sono alle prese con questo esercizio per il quale mi blocco durante lo svolgimento.
Dimostrare che i piani tangenti alla superficie regolare $z=xf(y/x)$ con $x\ne 0$ passano tutti per l'origine.
Ho scritto la funzione come $xf(y/x)-z=0$ e ne ho calcolato le derivate parziali. Queste risultano (rispetto a x, y e z):
$f(y/x)+f_{x}(y/x)(-y/x)$, $f_{y}(y/x)$ e $-1$. Impongo poi il passaggio per un generico punto $P(u,v,uf(v/u))$ e scrivo l'equazione del piano tangente in tale punto che risulta (salvo errori):
$(f(v/u)-v/u f_{x}(v/u))x+f_{y}(v/u)y-z+vf_{x}(v/u)-vf_{y}(v/u)=0$
che non mi sembra passi per l'origine a causa degli ultimi due addendi.
Non capisco cosa sto sbagliando...
Vi ringrazio per qualsiasi tipo di aiuto
Dimostrare che i piani tangenti alla superficie regolare $z=xf(y/x)$ con $x\ne 0$ passano tutti per l'origine.
Ho scritto la funzione come $xf(y/x)-z=0$ e ne ho calcolato le derivate parziali. Queste risultano (rispetto a x, y e z):
$f(y/x)+f_{x}(y/x)(-y/x)$, $f_{y}(y/x)$ e $-1$. Impongo poi il passaggio per un generico punto $P(u,v,uf(v/u))$ e scrivo l'equazione del piano tangente in tale punto che risulta (salvo errori):
$(f(v/u)-v/u f_{x}(v/u))x+f_{y}(v/u)y-z+vf_{x}(v/u)-vf_{y}(v/u)=0$
che non mi sembra passi per l'origine a causa degli ultimi due addendi.
Non capisco cosa sto sbagliando...
Vi ringrazio per qualsiasi tipo di aiuto
Risposte
Il piano tangente nel generico $(x_0,y_0,g(x_0,y_0))$, essendo $z=g(x,y)$, ha equazione $z=g(x_0,y_0)+\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$.
Grazie. Però pur applicando la formula che mi hai indicato ottengo sostanzialmente lo stesso risultato precedente.
Il piano tangente mi risulta:
$z=x_{0}f(y_{0}/x_{0})-f_{x}(y_{0}/x_{0})\cdot(y_{0}/x_{0})\cdot x+x_{0}f_{y}(y_{0}/x_{0})\cdot y+f_{x}(y_{0}/x_{0})\cdot y_{0}-f_{y}(y_{0}/x_{0})\cdot y_{0}$
E da qui, ammesso che il procedimento e i calcoli siano corretti, non capisco se tale piano passa per l'origine.
Grazie
Il piano tangente mi risulta:
$z=x_{0}f(y_{0}/x_{0})-f_{x}(y_{0}/x_{0})\cdot(y_{0}/x_{0})\cdot x+x_{0}f_{y}(y_{0}/x_{0})\cdot y+f_{x}(y_{0}/x_{0})\cdot y_{0}-f_{y}(y_{0}/x_{0})\cdot y_{0}$
E da qui, ammesso che il procedimento e i calcoli siano corretti, non capisco se tale piano passa per l'origine.
Grazie
Cosa vuol dire $f_x$ e $f_y$? La funzione $f$ dovrebbe essere di una variabile reale, per cui c'e' solo $f'$....
Ok, credo di aver capito. Di conseguenza quei termini si semplificano e il piano passa per l'origine.
Questo perchè $g(x,y)=f(y/x)$ con $g$ funzione di due variabili e $f$ di una?
Grazie mille.
Questo perchè $g(x,y)=f(y/x)$ con $g$ funzione di due variabili e $f$ di una?
Grazie mille.
$f$ non puo' che essere di una variabile, $\frac{y}{x}$ e' un numero reale, non un vettore.
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