Esercizio per punti su funzione integrale
Un saluto a tutti! Sono uno studente iscritto al primo anno di ingegneria elettrica. Avrei bisogno di una piccola mano su di un esercizio apparso sull'ultimo compitino di analisi. Si tratta di una funzione integrale.
Sia $F(x)=\int_{a}^{x}(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|))dt$
i) Determinare il dominio D della funzione integranda e calcolarne i limiti agli estremi, specificando in ciascun caso l'ordine di infinito o di infinitesimo
ii) Determinare il dominio I della funzione F al variare di a ∈ R
iii) Disegnare il gra co di F per a = -1
Vorrei capire quali errori ho commesso riportando qui di seguito la mia soluzione all'esercizio, affiancando anche i miei ragionamenti.
Iniziamo con il punto i):
abbiamo che la funzione integranda è $f(x)=(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|)$ , risulta essere $t ≠ 0$ (per via del $t^2$ al denominatore); inoltre bisogna porre l'argomento della radice > 0 essendo al denominatore ossia $|t+1|>0$ per cui abbiamo $t> -1$ (per le t positive ) e $t<-1$ (per le t negative). Per cui secondo il mio ragionamento il dom della integranda f(x) è $domf(x)=(-∞,-1)U(-1,0)U(0,+∞)$. Probabilmente ho già cannato qui da qualche parte.
Ora bisogna analizzare, come da testo, i limiti della funzione integranda ai suoi estremi:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)$ è sicuramente un ordine infinitesimo in quanto $t^2$ porta tutto a 0 , ed in particolare di ordine infinitesimo = 1 perchè possiamo rifarci all'approssimazione a polinomio di taylor $-x/6+1/12*x^2-x^3/16+5/16*x^4
$\lim_{x \to \0}f(x)$ è sicuramente un ordine infinito in quanto $t^2$ porta tutto a +∞ e l'ordine sarà uguale a 2
$\lim_{x \to \-1}f(x)$ è sicuramente un ordine infinito in quanto $sqrt(|t+1|)$ porta tutto a +∞ e l'ordine sarà = $1/2$
$\lim_{x \to \-infty}f(x)$ come nel primo caso di ordine infinitesimo = 1
ii)Io qui ho innanzitutto controllato cosa accade alla funzione integrale sulla base dell'integranda e degli estremi del dominio di quest'ultima.
$\lim_{x \to \+infty}F(x)$ diverge con ordine $α<=1$
$\lim_{x \to \0}F(x)$ abbiamo che F(x) diverge per ordine $α>=1 $(allora $x=0$ è asintoto verticale per F(x))
$\lim_{x \to \-1}F(x)$ abbiamo che F(x) converge per ordine $α<1$ (allora il punto è proseguibile per continuità)
$\lim_{x \to \-1}F(x)$ abbiamo che F(x) diverge con ordine $α<=1$
quindi rispondendo alla domanda "Determinare il dominio I della funzione F al variare di a ∈ R", risponderei:
per $a>0 -> I=(0,+∞)
per $a<0 -> I=(-∞,0)
Ora passando al punto iii)
avendo $a=-1$ abbiamo allora la seguente funzione integrale $F(x)=\int_{-1}^{x}(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|))dt$
Sappiamo già che $domF(x)=I=(-∞,0)$ e sappiamo che $F(-1)=0$ con asintoto verticale di equazione $x=0$
Fino a questo punto è tutto esatto oppure ho sbagliato qualcosa?
Ho un poco di difficoltà nel calcolare la crescenza e decrescenza. So che bisogna porre f(x)>0 per conoscere il comportamento di F(x) e sapendo che F(-1) = 0 possiamo anche ricavarne il segno. Io ho posto le seguenti condizioni per il calcolo della crescenza: $sint>|t| -> non esiste x$ ; $t^2>0 -> ∀x$; $sqrt(|t+1|)>0 -> ∀x$ . Per concludere allora F(x) decresce sempre e quindi essendo F(-1)=0 avremo che F(x) è positiva per x<-1 e negativa per x>-1.
In quest'ultimo punto (ma sicuramente anche prima) sbaglio qualcosa. Ho difficoltà nello scoprire la concavità qualche idea?
Vi ringrazio per tutto!
Sia $F(x)=\int_{a}^{x}(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|))dt$
i) Determinare il dominio D della funzione integranda e calcolarne i limiti agli estremi, specificando in ciascun caso l'ordine di infinito o di infinitesimo
ii) Determinare il dominio I della funzione F al variare di a ∈ R
iii) Disegnare il gra co di F per a = -1
Vorrei capire quali errori ho commesso riportando qui di seguito la mia soluzione all'esercizio, affiancando anche i miei ragionamenti.
Iniziamo con il punto i):
abbiamo che la funzione integranda è $f(x)=(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|)$ , risulta essere $t ≠ 0$ (per via del $t^2$ al denominatore); inoltre bisogna porre l'argomento della radice > 0 essendo al denominatore ossia $|t+1|>0$ per cui abbiamo $t> -1$ (per le t positive ) e $t<-1$ (per le t negative). Per cui secondo il mio ragionamento il dom della integranda f(x) è $domf(x)=(-∞,-1)U(-1,0)U(0,+∞)$. Probabilmente ho già cannato qui da qualche parte.
Ora bisogna analizzare, come da testo, i limiti della funzione integranda ai suoi estremi:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)$ è sicuramente un ordine infinitesimo in quanto $t^2$ porta tutto a 0 , ed in particolare di ordine infinitesimo = 1 perchè possiamo rifarci all'approssimazione a polinomio di taylor $-x/6+1/12*x^2-x^3/16+5/16*x^4
$\lim_{x \to \0}f(x)$ è sicuramente un ordine infinito in quanto $t^2$ porta tutto a +∞ e l'ordine sarà uguale a 2
$\lim_{x \to \-1}f(x)$ è sicuramente un ordine infinito in quanto $sqrt(|t+1|)$ porta tutto a +∞ e l'ordine sarà = $1/2$
$\lim_{x \to \-infty}f(x)$ come nel primo caso di ordine infinitesimo = 1
ii)Io qui ho innanzitutto controllato cosa accade alla funzione integrale sulla base dell'integranda e degli estremi del dominio di quest'ultima.
$\lim_{x \to \+infty}F(x)$ diverge con ordine $α<=1$
$\lim_{x \to \0}F(x)$ abbiamo che F(x) diverge per ordine $α>=1 $(allora $x=0$ è asintoto verticale per F(x))
$\lim_{x \to \-1}F(x)$ abbiamo che F(x) converge per ordine $α<1$ (allora il punto è proseguibile per continuità)
$\lim_{x \to \-1}F(x)$ abbiamo che F(x) diverge con ordine $α<=1$
quindi rispondendo alla domanda "Determinare il dominio I della funzione F al variare di a ∈ R", risponderei:
per $a>0 -> I=(0,+∞)
per $a<0 -> I=(-∞,0)
Ora passando al punto iii)
avendo $a=-1$ abbiamo allora la seguente funzione integrale $F(x)=\int_{-1}^{x}(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|))dt$
Sappiamo già che $domF(x)=I=(-∞,0)$ e sappiamo che $F(-1)=0$ con asintoto verticale di equazione $x=0$
Fino a questo punto è tutto esatto oppure ho sbagliato qualcosa?
Ho un poco di difficoltà nel calcolare la crescenza e decrescenza. So che bisogna porre f(x)>0 per conoscere il comportamento di F(x) e sapendo che F(-1) = 0 possiamo anche ricavarne il segno. Io ho posto le seguenti condizioni per il calcolo della crescenza: $sint>|t| -> non esiste x$ ; $t^2>0 -> ∀x$; $sqrt(|t+1|)>0 -> ∀x$ . Per concludere allora F(x) decresce sempre e quindi essendo F(-1)=0 avremo che F(x) è positiva per x<-1 e negativa per x>-1.
In quest'ultimo punto (ma sicuramente anche prima) sbaglio qualcosa. Ho difficoltà nello scoprire la concavità qualche idea?
Vi ringrazio per tutto!
Risposte
Tra l'altro facendo il grafico con derive sembra venire una cosa molto simile al mio, fatta ad eccezione per la concavità che mi viene difficile da calcolare sulla base dell'integranda...
Non so che grafico ti disegni derive, ma stai trascurando un bel po' di cose.
Per esempio in $0$ l'integranda ha un comportamento particolare, da sinistra tende a $-oo$, ma da destra non è affatto infinita!
Inoltre in $-1$ c'è un punto di flesso a tangente verticale della funzione di cui devi tracciare il grafico.
Per vedere concavità e segno della derivata beh, la derivata già ce l'hai, per la concavità dovresti derivare l'integranda ma non mi sembra il caso.
Si può capire anche dalle informazioni che puoi ottenere senza farla.
Per esempio in $0$ l'integranda ha un comportamento particolare, da sinistra tende a $-oo$, ma da destra non è affatto infinita!
Inoltre in $-1$ c'è un punto di flesso a tangente verticale della funzione di cui devi tracciare il grafico.
Per vedere concavità e segno della derivata beh, la derivata già ce l'hai, per la concavità dovresti derivare l'integranda ma non mi sembra il caso.
Si può capire anche dalle informazioni che puoi ottenere senza farla.
"Giuly19":
Non so che grafico ti disegni derive, ma stai trascurando un bel po' di cose.
Per esempio in $0$ l'integranda ha un comportamento particolare, da sinistra tende a $-oo$, ma da destra non è affatto infinita!
Inoltre in $-1$ c'è un punto di flesso a tangente verticale della funzione di cui devi tracciare il grafico.
Per vedere concavità e segno della derivata beh, la derivata già ce l'hai, per la concavità dovresti derivare l'integranda ma non mi sembra il caso.
Si può capire anche dalle informazioni che puoi ottenere senza farla.
Ti ringrazio! Mi hai illuminato! Vediamo cosa riesco a fare passo per passo, allora:
"Giuly19":
Non so che grafico ti disegni derive, ma stai trascurando un bel po' di cose.
Per esempio in $0$ l'integranda ha un comportamento particolare, da sinistra tende a $-oo$, ma da destra non è affatto infinita!
Per quanto riguarda $\lim_{x \to \0^+}f(x)=\lim_{x \to \0^+}(sint-t)/(t^2*sqrt(t+1))=\lim_{x \to \0^+}sint/(t^2*sqrt(t+1))-t/(t^2*sqrt(t+1)) -> \lim_{x \to \0^+}sinx/x = 1 -> \lim_{x \to \0^+}1/(t*sqrt(t+1))-1/(t*sqrt(t+1)) = 0
Quindi quando l'estremo di integrazione è $a>0$ abbiamo che il dominio I di F(x) è $I=|0,+∞)$
Quando controlliamo invece $\lim_{x \to \0^-}f(x)$ abbiamo che $\lim_{x \to \0^-}f(x)=\lim_{x \to \0^-}sint/(t^2*sqrt(-t-1))+t/(t^2*sqrt(-t-1))= \lim_{x \to \0^-}1/(t*sqrt(-t-1))+1/(t*sqrt(-t-1))=2/(t*sqrt(-t-1))= -∞$
per cui diverge e allora quando l'estremo di integrazione è $a<0$ abbiamo che il dominio I di F(x) è $I=(-∞,0)$ con asintoto verticale presso $x=0$
Ora dovrei esserci? Il resto invece andava bene o era sbagliato?
"Giuly19":
Inoltre in $-1$ c'è un punto di flesso a tangente verticale della funzione di cui devi tracciare il grafico.
Per vedere concavità e segno della derivata beh, la derivata già ce l'hai, per la concavità dovresti derivare l'integranda ma non mi sembra il caso.
Si può capire anche dalle informazioni che puoi ottenere senza farla.
Qui invece, scusami l'ignoranza, non riesco a capire quali informazioni intendi da cui poter trarre la conclusione in quali intervalli la F(x) risulta convessa o concava! Io ho sempre posto (in questo caso) $f'(x)>0$. Però, proprio come hai detto, a causa della natura di f(x), bisogna ricorrere ad altre vie. Come si potrebbe procedere? Grazie ancora per l'aiuto!
Beh se sai che ha un asintoto orizzontale a sinistra, un flesso in un certo punto e non ci sono altri punti critici per la derivata la concavità si intuisce quando provi a disegnare il grafico!
"Giuly19":
Beh se sai che ha un asintoto orizzontale a sinistra, un flesso in un certo punto e non ci sono altri punti critici per la derivata la concavità si intuisce quando provi a disegnare il grafico!
Ti ringrazio mi sei stato davvero di grande aiuto!
"Headcrab":
Un saluto a tutti! Sono uno studente iscritto al primo anno di ingegneria elettrica. Avrei bisogno di una piccola mano su di un esercizio apparso sull'ultimo compitino di analisi. Si tratta di una funzione integrale.
Sia $F(x)=\int_{a}^{x}(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|))dt$
i) Determinare il dominio D della funzione integranda e calcolarne i limiti agli estremi, specificando in ciascun caso l'ordine di infinito o di infinitesimo
ii) Determinare il dominio I della funzione F al variare di a ∈ R
iii) Disegnare il gra co di F per a = -1
Vorrei capire quali errori ho commesso riportando qui di seguito la mia soluzione all'esercizio, affiancando anche i miei ragionamenti.
Iniziamo con il punto i):
abbiamo che la funzione integranda è $f(x)=(sint-|t|)/(t^2*sqrt(|t+1|)$ , risulta essere $t ≠ 0$ (per via del $t^2$ al denominatore); inoltre bisogna porre l'argomento della radice > 0 essendo al denominatore ossia $|t+1|>0$ per cui abbiamo $t> -1$ (per le t positive ) e $t<-1$ (per le t negative). Per cui secondo il mio ragionamento il dom della integranda f(x) è $domf(x)=(-∞,-1)U(-1,0)U(0,+∞)$. Probabilmente ho già cannato qui da qualche parte.
Il dominio è corretto.
Ora bisogna analizzare, come da testo, i limiti della funzione integranda ai suoi estremi:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)$ è sicuramente un ordine infinitesimo in quanto $t^2$ porta tutto a 0 , ed in particolare di ordine infinitesimo = 1 perchè possiamo rifarci all'approssimazione a polinomio di taylor $-x/6+1/12*x^2-x^3/16+5/16*x^4
Per $t\to\pm\infty$ [tex]$f(t)\sim\frac{-|t|}{t^2\sqrt{|t|}}=\frac{1}{t^{3/2}}$[/tex] per cui è un ordine di infinitesimo $3/2$.
$\lim_{x \to \0}f(x)$ è sicuramente un ordine infinito in quanto $t^2$ porta tutto a +∞ e l'ordine sarà uguale a 2
Per $t\to 0^+$ [tex]$f(t)\sim\frac{t-t^3/6-|t|}{t^2}=\frac{t-t^3/6-t}{t^2}=-\frac{t}{6}$[/tex] per cui è un ordine di infinitesimo pari a $1$
Per $t\to 0^-$ [tex]$f(t)\sim\frac{t-t^3/6-|t|}{t^2}=\frac{t-t^3/6+t}{t^2}=\frac{2t}{t^2}=\frac{2}{t}$[/tex] per cui è un ordine di infinito pari a $1$ e quindi, da sinistra, l'integrale diverge!
$\lim_{x \to \-1}f(x)$ è sicuramente un ordine infinito in quanto $sqrt(|t+1|)$ porta tutto a +∞ e l'ordine sarà = $1/2$
$\lim_{x \to \-infty}f(x)$ come nel primo caso di ordine infinitesimo = 1
Per $t\to-1$ [tex]$f(t)\sim\frac{a}{\sqrt{|t+1|}}$[/tex] per cui è un ordine di infinito pari a $1/2$ e in questo caso l'integrale converge.
A questo punto credo che tu debba rivedere il resto dell'esercizio perché ci sono conclusioni che trai per la funzione $F(x)$ sulla base dei limiti precedenti che, essendo errati, risultano false.
Ti ringrazio anche a te! Purtroppo ho un poco di difficoltà in queste cose e spero con tanti esercizi di riuscire a risolvere le mie lacune!
Tu esercitati e posta: la discussione, in questi casi, è fondamentale sia per comprendere quanto si conoscono certi argomenti sia quali siano le lacune e colmarle! L'importante è essere sempre critici, non accettare immediatamente un parere ma ragionarci su! 
Grazie ancora!!
Vediamo cosa riesco a fare con un esercizio più semplice:
Abbiamo la funzione integrale $F(x)=\int_{0}^{x}(e^t-1)/(t*(t+1))dt$
Chiamiamo per comodità la funzione integranda $g(x)=(e^t-1)/(t*(t+1))$
Sappiamo che la funzione integranda esiste per $t≠0$ e $t≠-1$ allora abbiamo che il dominio I di g(x) è $I=(-infty, -1)U(-1,0)U(0,+infty)$
Vediamo cosa accade con $t->+infty$ :
$t->+infty$ $g(t)~e^t/t^2 -> +infty$ con ordine infinito $>α ∀α>0$ per cui diverge F(x)
Con $t->0^±$ abbiamo un limite notevole e i due limiti destro e sinistro di g(x) con $t->0^$ coincidono e valgono 1, per cui il punto $x=0$ è proseguibile per continuità.
Cont $t->-1^+$ $g(x)->+infty$ con ordine infinito pari a 1 per cui F(x) diverge con asintoto verticale di equazione $x=-1$
Abbiamo che il dominio di F(x) è allora $(-1,+infty)$
Ponendo $g(x)>0$ troviamo le condizioni $e^t>1 -> e^t>e^0 -> t>0, t>0, t>-1$ per cui F(x) cresce sempre ed inoltre sapendo che F(0)=0 abbiamo che F(x) è negativa in $(-1,0)$ e positiva in $(0,+infty)$.
Facendo lo studio della concavità per $g'(x)>0$ trovaimo che F(x) è convessa in $(-1, (1-sqrt(5))/2)U((1+sqrt(5))/2,+infty)$ ed è concava per $((1-sqrt(5))/2,(1+sqrt(5))/2)$.
Cosa ne pensate?
Vediamo cosa riesco a fare con un esercizio più semplice:
Abbiamo la funzione integrale $F(x)=\int_{0}^{x}(e^t-1)/(t*(t+1))dt$
Chiamiamo per comodità la funzione integranda $g(x)=(e^t-1)/(t*(t+1))$
Sappiamo che la funzione integranda esiste per $t≠0$ e $t≠-1$ allora abbiamo che il dominio I di g(x) è $I=(-infty, -1)U(-1,0)U(0,+infty)$
Vediamo cosa accade con $t->+infty$ :
$t->+infty$ $g(t)~e^t/t^2 -> +infty$ con ordine infinito $>α ∀α>0$ per cui diverge F(x)
Con $t->0^±$ abbiamo un limite notevole e i due limiti destro e sinistro di g(x) con $t->0^$ coincidono e valgono 1, per cui il punto $x=0$ è proseguibile per continuità.
Cont $t->-1^+$ $g(x)->+infty$ con ordine infinito pari a 1 per cui F(x) diverge con asintoto verticale di equazione $x=-1$
Abbiamo che il dominio di F(x) è allora $(-1,+infty)$
Ponendo $g(x)>0$ troviamo le condizioni $e^t>1 -> e^t>e^0 -> t>0, t>0, t>-1$ per cui F(x) cresce sempre ed inoltre sapendo che F(0)=0 abbiamo che F(x) è negativa in $(-1,0)$ e positiva in $(0,+infty)$.
Facendo lo studio della concavità per $g'(x)>0$ trovaimo che F(x) è convessa in $(-1, (1-sqrt(5))/2)U((1+sqrt(5))/2,+infty)$ ed è concava per $((1-sqrt(5))/2,(1+sqrt(5))/2)$.
Cosa ne pensate?
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