Esercizio pde

[mariagrazia.c1]

ciao.. vi posto un esercizio.... con i miei calcoli.. vi chiedo di aiutarmi nella risoluzione

$yu_x-xu_y=y$
$u(x,x)=x+e^(x^2)$



allora le equazioni delle caratteristiche sono

$(dx)/(ds)=y$

$(dy)/(ds)=-x$

$(du)/(ds)=y$



io ho considerato le prime due, da cui ricavo

$(dx)/(x)=(dy)/-y$

integrando tra $x$ e $x_0$ ottengo un legame tra x e y


$log(x/x_0)=-(y^2)/2+(y_0^2)/2$


come continuo? non so come sfruttare la terza equazione...posso forse considerare questo:


da

$(dx)/(ds)=y$

segue $(dx)/y=ds$

da cui segue che , essendo $(du)/(ds)=y$ posso scrivere

$du=yds=ydx/y=dx$ e integrando ottengo

$u-u_0=x-x_0$

non mi convince...

[anonymous_0b37e9]

Con un po' di esperienza:

$\{((dx)/(ds)=y),((dy)/(ds)=-x):} rarr \{(x=x_0coss+y_0sins),(y=-x_0sins+y_0coss):}$

Viceversa, si deve procedere con un qualche metodo "forza bruta". Quindi:

$[(du)/(ds)=y] rarr [(du)/(ds)=-x_0sins+y_0coss] rarr [u=x_0coss+y_0sins+u_0-x_0]$

[mariagrazia.c1]

Scusa ma nn capisco come hai calcolato..

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. In generale, è necessario studiare un po' di teoria. Tuttavia, almeno in questo caso, puoi anche procedere disaccoppiando le prime due equazioni:

$\{((dx)/(ds)=y),((dy)/(ds)=-x):} rarr \{((d^2x)/(ds^2)=(dy)/(ds)),((d^2y)/(ds^2)=-(dx)/(ds)):} rarr \{((d^2x)/(ds^2)=-x),((d^2y)/(ds^2)=-y):} rarr \{((d^2x)/(ds^2)+x=0),((d^2y)/(ds^2)+y=0):}$

ottenendo così due equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti di facile risoluzione:

$\{(x=Acoss+Bsins),(y=Ccoss+Dsins):}$

Per determinare $A$ e $C$ devi imporre le solite condizioni iniziali:

$\{(x(0)=x_0),(y(0)=y_0):} rarr \{(A=x_0),(C=y_0):}$

Per determinare $B$ e $D$ una delle due equazioni originali:

$[(dx)/(ds)=y] rarr [-x_0sins+Bcoss=y_0coss+Dsins] rarr \{(B=y_0),(D=-x_0):}$

P.S.
Come hai senz'altro intuito, devi ripassare le equazioni differenziali ordinarie.