Esercizio particolare su integrali doppi

[ClAuDi0]

Vi propongo un altro quiz preso dal mio esame di Analisi II.

Siano:
1) $ Omega $ il quadrato di vertici $ (2,0) $, $ (0,2) $, $ (-2,0) $, $ (0,-2) $
2) $ D={(x,y) € R^2:-2<=x<=0; 0<=y<=x+2} $
3) $ K={(x,y) € R^2:0<=x<=2; 0<=y<=2-x} $
4) $ f $ una funzione tale che $ f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y) $

Allora:
$ int_(Omega\\ D)f(x,y) dx dy = 2int_(K)f(x,y) dx dy $
$ int_(Omega\\ D)f(x,y) dx dy = -2int_(K)f(x,y) dx dy $
Nessuna delle altre risposte
$ int_(Omega\\ D)f(x,y) dx dy = -int_(K)f(x,y) dx dy $
$ int_(Omega\\ D)f(x,y) dx dy = int_(K)f(x,y) dx dy $

Io so che se c'è simmetria rispetto a un asse e la funzione è dispari l'integrale = 0 ma questa è una definizione generale e in questo caso specifico non so bene come comportarmi. Se invece la funzione è pari allora l'integrale su $ Omega $ sarà 2 volte l'integrale su $ Omega' $(che comprende "diciamo solo un semipiano" ora non so bene come spiegarmi perché dipende dai casi). Anche disegnando gli insiemi in questione non so poi come muovermi. Mi verrebbe da dire nessuna delle altre ma...bho..
Potete aiutarmi?

[stefansson]

Indico con $K_1={(x,y)inRR^2|-2<=x<=0,-x-2<=y<=0}$ e con $K_2={(x,y)inRR^2|0<=x<=2,x-2<=y<=0}$
In modo tale che $Omega=DuuKuuK_1uuK_2$
Per come è fatta la funzione $f$ (cambia segno se cambi il segno di una sola delle due coordinate)
passando da uno dei 4 triangoli che formano $Omega$ ad un altro 'adiacente' la funzione e quindi l'integrale cambia di segno,
se invece passi da uno dei 4 triangoli al suo 'opposto' (ad esempio da $K$ a $K_1$) l'integrale è uguale.
Quindi $\intint_K f(x,y)dxdy=intint_{K_1} f(x,y)dxdy=-intint_{K_2}f(x,y)dxdy$

Quindi $\intint_{Omega\\D}f(x,y)dxdy=intint_K f(x,y)dxdy+intint_{K_1} f(x,y)dxdy+intint_{K_2} f(x,y)dxdy=$
$=intint_K f(x,y)dxdy$