Esercizio operatori sugli spazi di Hilbert
Riporto qui un esercizio sugli operatori chiedo a qualcuno se trova le risposte corrette o altrimenti come fare:
In $l^2={(x_1,x_2,x_3,x_4,.....x_n,.......) x_i in CC: \sum_{i=1}^\infty |x_i|^2 <\infty}$ sia T l'operatore lineare definito da
T(x1,x2,x3,x4,.......xn,.......) = (x3,x1,x2,x4,x5,......xn,.....); calcolare $||T||$ e $T^+$; mostrare che $T^3=1$ e calcolare gli autovalori di T.
1) La norma
$||T(x)||^2 =<(x_3,x_1,x_2,x_4,.....x_n,......),(x_3,x_1,x_2,x_4,.....x_n,......)> = |x_3|^2+|x_1|^2+|x_2|^2+|x_4|^2+......+|x_n|^2...... = ||x||^2$
$=>||T(x)||/(||x||) =1$
2) L'aggiunto
Dalla definizione (y,Tx)=(T'y,x) (' sta per aggiunto dell'operatore) quindi:
$<(y_1,y_2,y_3,y_4,.......y_n,.......),(x_3,x_1,x_2,x_4,..........,x_n,......)> = $
$= <(T^+y_1,T^+y_2,T^+y_3,T^+y_4,.........,T^+y_n,......),(x_1,x_2,x_3,x_4,..........,x_n,......)>$
sviluppando i prodotti scalari si ottiene :
$(y_1x_3+y_2x_1+y_3x_2+y_4x_4+.........+y_nx_n+.........)=(T^+y_1x_1+T^+y_2x_2+T^+y_3x_3+T^+y_4x_4+........T^+y_nx_n+.....)$ percui
$T^+(vecy)=(y_2,y_3,y_1,y_4,......y_n,.......)$
3) T^3
puo essere visto come l'operatore $ T^3(x)= T(T(T(x))) $ o anche $ x->T(x) -> T(T(x)) -> T( T(T(x)) )$
l'operatore T altro non fa che ruotare i primi 3 elementi del vettore perciò 3 operazioni di rotazione determinano il vettore originale ovvero
$T^3(x) = x$ quindi $T^3=1$ (spero sia giusto il procedimento.....ammetto che ho un po di dubbi su questo punto)
4) gli autovalori
Da $Tvecx =\lambda vecx$ ottengo
$\{(x_3=\lambdax_1),(x_1=\lambdax_2),(x_2=\lambdax_3),(x_4=\lambdax_4),(........),(x_n=\lambdax_n):}$
Con $\lambda =0$ si vede che l'unico vettore che soddisfa le richieste è il vettore nullo
Con $\lambda !=0$ il problema si riduce al seguente sistema: $\{(x_3=\lambdax_1),(x_1=\lambdax_2),(x_2=\lambdax_3):}$ che risolto da
$\lambda = 1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2-i sqrt(3)/2$
con $\lambda =1$ associamo l'autovettore (0,0,0,1,0,1,0,1,0,..........,1,0,1,0,..........)
con $\lambda =-1/2 +i sqrt(3)/2$ associamo l'autovettore $(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2+i sqrt(3)/2,0,0,0,0.......,0,0,......)
con $\lambda = -1/2-isqrt(3)/2$ associamo l'autovettore $(1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2-i sqrt(3)/2,0,1,0,1.......,0,1,0,1,......)
Gli autovalori sono $\lambda= 1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2-i sqrt(3)/2$ (almento spero!!!)
Sto cercando un po di materiale a livello di esercizi per impratichirmi se avete qualche link utile vi ringrazierei moltissimo
grazie ai correttori
In $l^2={(x_1,x_2,x_3,x_4,.....x_n,.......) x_i in CC: \sum_{i=1}^\infty |x_i|^2 <\infty}$ sia T l'operatore lineare definito da
T(x1,x2,x3,x4,.......xn,.......) = (x3,x1,x2,x4,x5,......xn,.....); calcolare $||T||$ e $T^+$; mostrare che $T^3=1$ e calcolare gli autovalori di T.
1) La norma
$||T(x)||^2 =<(x_3,x_1,x_2,x_4,.....x_n,......),(x_3,x_1,x_2,x_4,.....x_n,......)> = |x_3|^2+|x_1|^2+|x_2|^2+|x_4|^2+......+|x_n|^2...... = ||x||^2$
$=>||T(x)||/(||x||) =1$
2) L'aggiunto
Dalla definizione (y,Tx)=(T'y,x) (' sta per aggiunto dell'operatore) quindi:
$<(y_1,y_2,y_3,y_4,.......y_n,.......),(x_3,x_1,x_2,x_4,..........,x_n,......)> = $
$= <(T^+y_1,T^+y_2,T^+y_3,T^+y_4,.........,T^+y_n,......),(x_1,x_2,x_3,x_4,..........,x_n,......)>$
sviluppando i prodotti scalari si ottiene :
$(y_1x_3+y_2x_1+y_3x_2+y_4x_4+.........+y_nx_n+.........)=(T^+y_1x_1+T^+y_2x_2+T^+y_3x_3+T^+y_4x_4+........T^+y_nx_n+.....)$ percui
$T^+(vecy)=(y_2,y_3,y_1,y_4,......y_n,.......)$
3) T^3
puo essere visto come l'operatore $ T^3(x)= T(T(T(x))) $ o anche $ x->T(x) -> T(T(x)) -> T( T(T(x)) )$
l'operatore T altro non fa che ruotare i primi 3 elementi del vettore perciò 3 operazioni di rotazione determinano il vettore originale ovvero
$T^3(x) = x$ quindi $T^3=1$ (spero sia giusto il procedimento.....ammetto che ho un po di dubbi su questo punto)
4) gli autovalori
Da $Tvecx =\lambda vecx$ ottengo
$\{(x_3=\lambdax_1),(x_1=\lambdax_2),(x_2=\lambdax_3),(x_4=\lambdax_4),(........),(x_n=\lambdax_n):}$
Con $\lambda =0$ si vede che l'unico vettore che soddisfa le richieste è il vettore nullo
Con $\lambda !=0$ il problema si riduce al seguente sistema: $\{(x_3=\lambdax_1),(x_1=\lambdax_2),(x_2=\lambdax_3):}$ che risolto da
$\lambda = 1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2-i sqrt(3)/2$
con $\lambda =1$ associamo l'autovettore (0,0,0,1,0,1,0,1,0,..........,1,0,1,0,..........)
con $\lambda =-1/2 +i sqrt(3)/2$ associamo l'autovettore $(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2+i sqrt(3)/2,0,0,0,0.......,0,0,......)
con $\lambda = -1/2-isqrt(3)/2$ associamo l'autovettore $(1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2-i sqrt(3)/2,0,1,0,1.......,0,1,0,1,......)
Gli autovalori sono $\lambda= 1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2-i sqrt(3)/2$ (almento spero!!!)
Sto cercando un po di materiale a livello di esercizi per impratichirmi se avete qualche link utile vi ringrazierei moltissimo
grazie ai correttori
Risposte
Per i primi tre punti direi che sono corretti. Per il quarto prova a ricontrollare i conti fatti nella ricerca degli autovalori, a me vengono un po' diversi.
Per quello che riguarda gli esercizi, non conosco siti, ma se lo desideri ti posso postare alcuni esercizi che ho nei miei appunti personali.
Ciao
Per quello che riguarda gli esercizi, non conosco siti, ma se lo desideri ti posso postare alcuni esercizi che ho nei miei appunti personali.
Ciao
In effetti gli autovettori associati li ho sbagliati: riprovo
per $\lambda=1$ associo (0,0,0,1,0,0.....0,0,...)
per $\lambda=-1/2+i sqrt(3)/2$ associo $(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2 +i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)$
per $\lambda=-1/2 -i sqrt(3)/2$ associo $ (1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2 -i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)$
dimmi un po' se va bene ......vorrei ricontrollare l'indipendenza lineare degli autovettori: non ci sono soluzioni reali ma per quelle complesse devo ancora provare anche se a occhio mi sembrano indipendenti.
gli autovalori mi sembrano le radici della equazione $\lambda^3=1$ che si trova riducendo il sistema
se hai degli esercizi di questo tipo con almeno le soluzioni finali per controllare gli errori ok altrimenti li ho già ma hanno una utilità relativa visto che
a parte qualche operazione di "crosscheck" non posso sapere con esattezza se l'esercizio lo svolto correttamente.
per $\lambda=1$ associo (0,0,0,1,0,0.....0,0,...)
per $\lambda=-1/2+i sqrt(3)/2$ associo $(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2 +i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)$
per $\lambda=-1/2 -i sqrt(3)/2$ associo $ (1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2 -i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)$
dimmi un po' se va bene ......vorrei ricontrollare l'indipendenza lineare degli autovettori: non ci sono soluzioni reali ma per quelle complesse devo ancora provare anche se a occhio mi sembrano indipendenti.
gli autovalori mi sembrano le radici della equazione $\lambda^3=1$ che si trova riducendo il sistema
se hai degli esercizi di questo tipo con almeno le soluzioni finali per controllare gli errori ok altrimenti li ho già ma hanno una utilità relativa visto che
a parte qualche operazione di "crosscheck" non posso sapere con esattezza se l'esercizio lo svolto correttamente.
"kaimano":
gli autovalori mi sembrano le radici della equazione $\lambda^3=1$ che si trova riducendo il sistema
OK
"kaimano":
per $\lambda=1$ associo (0,0,0,1,0,0.....0,0,...)
per $\lambda=-1/2+i sqrt(3)/2$ associo $(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2 +i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)$
per $\lambda=-1/2 -i sqrt(3)/2$ associo $(1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2 -i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)$
per il caso $\lambda=1$ a me viene $(1,1,1,0,.....0,0,...)$
OK gli altri due
"kaimano":
vorrei ricontrollare l'indipendenza lineare degli autovettori
Basta considerare tre scalari $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e impostare:
$\alpha(1,1,1,0,.....0,0,...)+\beta(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2 +i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)+\gamma (1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2 -i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)=(0,0,0,0,....0,0,....)$ svolgendo i calcoli ti ritrovi $\alpha = \beta = \gamma=0$.
Come esercizio sugli spazi di Hilbert e gli operatori lineari ti potrei proporre il seguente:
Sia $A:H \to H$ un operatore lineare ed $H$ uno spazio di Hilbert.
Si supponga $A$ autoaggiunto, ossia $A=A$*.
Si provi che:
i) gli autovalori di A sono reali e che due autovettori corrispondenti a due diversi autovalori sono ortogonali
ii) se $B:H \to H$ è un altro operatore autoaggiunto si verifichi che $AB$ è autoaggiunto se e soltanto se $A$ e $B$ commutano
iii) $i(AB-BA)$ è autoaggiunto.
Sia $A:H \to H$ un operatore lineare ed $H$ uno spazio di Hilbert.
Si supponga $A$ autoaggiunto, ossia $A=A$*.
Si provi che:
i) gli autovalori di A sono reali e che due autovettori corrispondenti a due diversi autovalori sono ortogonali
ii) se $B:H \to H$ è un altro operatore autoaggiunto si verifichi che $AB$ è autoaggiunto se e soltanto se $A$ e $B$ commutano
iii) $i(AB-BA)$ è autoaggiunto.
@kaimano: Un esercizio sugli operatori lineari, gli autovalori, etc... tra due spazi di Banach lo trovi qui.
"deserto":
per il caso $\lambda=1$ a me viene $(1,1,1,0,.....0,0,...)$
OK gli altri due
Basta considerare tre scalari $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e impostare:
$\alpha(1,1,1,0,.....0,0,...)+\beta(1,-1/2-i sqrt(3)/2,-1/2 +i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)+\gamma (1,-1/2+i sqrt(3)/2,-1/2 -i sqrt(3)/2,0,0,.......0,0,....)=(0,0,0,0,....0,0,....)$ svolgendo i calcoli ti ritrovi $\alpha = \beta = \gamma=0$.
Ma l'autovettore che ho trovato non dovrebbe andare bene lo stesso? (Altrimenti non ho capito qualcosa della teoria)
Per quanto riguarda l'indipendenza lineare intendevo che per scalari reali OK ma per scalari complessi dovevo ancora svolgere i calcoli; tu hai controllato anche gli scalari complessi? o solo quelli reali.
Non ho posto limiti sugli scalari: quindi vanno bene anche i numeri complessi.
Per il vettore, in effetti può andare bene anche il tuo, anche se personalmente mi piace di più quello che ho determinato io, ma è comunque solo una preferenza personale.
Per il vettore, in effetti può andare bene anche il tuo, anche se personalmente mi piace di più quello che ho determinato io, ma è comunque solo una preferenza personale.
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