Esercizio operatore lineare (analisi funzionale)

[pinobambam]

Ciao a tutti! Ho un esercizio di analisi funzionale che non mi è completamente chiaro e avrei bisogno di qualche delucidazione.
(pomeriggio l'avevo postato nella sezione geometria e algebra lineare ma forse è piu adatto qua )

Sia $T$ l'operatore definito sulle successioni reali da:

$T(x_1,x_2,x_3,..)=(x_1-x_2,0,x_3-x_4,0,...)$

ovvero $(Tx)_k={(x_k-x_(k+1),text{ se k dispari}),(0,text{ se k pari}):}$

a) si mostri che $T$ è lineare e continuo da $l^2$ in $l^2$
b) si analizzino iniettività e suriettività di $T$
c) si trovi lo spettro puntuale di $T$
d) per ogni autovalore $\lambda$ si calcoli la dimensione di $ker(T-\lambda)$
e) si analizzi la compattezza di $T$

Io ho provato a svolgere così:

a) per vedere se $T$ è lineare bisogna vedere se $T(\alpha*x + \beta*y)=\alpha*T(x)+\beta*T(y)$

$T(\alpha*x + \beta*y)=(\alpha*x_1 - \alpha*x_2 + \beta*y_1 - \beta*y_2,0,..)=(\alpha*(x_1-x_2)+\beta*(y_1-y_2),0,..)=$

$=(\alpha*(x_1\-x_2),0,\alpha*(x_3-x_4),0,..)+(\beta*(y_1-y_2),0,\beta*(y_3-y_4),0,..)=$

$\alpha*(x_1-x_2,0,x_3-x_4,0,..)+\beta*(y_1-y_2,0,y_3-y_4,0,..)=\alpha*(Tx)_k+\beta*(Ty)_k$

per vedere se $T$ è continua bisogna mostrare che $||Tx||<=M*||x||$

$||Tx||_(l^2)^2=\sum_{k=0}^\infty\|x_k-x_(k+1)|^2<=$

$<=\sum_{k=0}^\infty\(x_k)^2 text{ + } \sum_{k=0}^\infty\(x_(k+1))^2 text{ - } 2*\sum_{k=0}^\infty\|(x_k)*(x_(k+1))|<=$

qui il terzo termine posso eliminarlo maggiorando. Il primo ed il secondo li posso unire:

$<=\sum_{k=0}^\infty\(x_k)^2<=||x||_(l^2)^2$

b) $T$ è iniettiva se $Tx=0 rArr x=0$

$Tx=0 rArr {(x_1-x_2=0),(x_3-x_4=0),(.),(.),(.):}$ $rArr$ posso prendere $x_k=x_(k+1)$ $rArr$ ${(x_1=x_2),(x_3=x_4),(.),(.),(.):}$

$rArr Tx$ non è iniettivo

da qui inizio ad avere qualche problema:

$Tx$ è suriettiva se $AA y in l^2 EE x in l^2 text{ t.c. } Tx=y$

$Tx=y rArr {(x_1-x_2=y_1),(x_3-x_4=y_3),(.),(.),(.):}$ $rArr$ $(Tx)_k=x_k-x_(k+1)=y_k$

è suriettiva? a me verrebbe di dire di si, ma sono molto dubbioso.

c) lo spettro puntuale è $\sigma_p(T)$ dove ci stanno i $\lambda$ se $T-\lambda$ non è iniettiva.

So che $T$ non è iniettiva quindi $\lambda=0 in \sigma_p(T)$

$(T-\lambda)(x)=0 rArr Tx=\lambda*x$ con $\lambda=1$, $T-\lambda$ non è iniettiva, giusto?

quindi anche $\lambda=1 in \sigma_p(T)$. Quindi vale anche per $\lambda=n$ con $n=0,1,2,..$?

d) se $\lambda=0 rArr Ker(T-\lambda)=Ker(T)$ quindi la sua dimensione è infinita?
se $\lambda=1 rArr Tx=x rArr dim(ker(T-\lambda))= oo$

e)$T$ è compatto? Mi verrebbe da dire no, essendo anche che $T$ ha rango infinito.

Poi se è esatto che $\lambda=n in \sigma_p(T) sub \sigma(T)$ allora la successione degli autovalori non tende a zero.


Se qualcuno ha voglia di leggere tutto e riesce a levarmi qualche dubbio gli sono grato!

[gugo82]

Guarda bene... Come fa [tex]$T$[/tex] ad essere suriettivo se esso mappa [tex]$\ell^2$[/tex] nel sottospazio proprio [tex]$\mathcal{S}:=\{ y=(y_n)\in \ell^2:\ y_{2k}=0,\ k\in \mathbb{N}\}$[/tex]?

[pinobambam]

Scusami, ma non conosco il significato di mappare.
Comunque pensando ai $k$ pari, credo che non esiste una $x$ $AA$$y$

[gugo82]

"Mappare" lo puoi interpretare come "trasportare"...

Insomma, volevo dire che [tex]$T(\ell^2)=\mathcal{S}\subset \ell^2$[/tex] quindi, dato che l'inclusione è stretta, l'operatore [tex]$T$[/tex] non può essere suriettivo.

[pinobambam]

ah ok! grazie!