Esercizio o-piccolo

[thesniperist]

Salve, questo è il mio primo argomento che pubblico, chiedo scusa in caso di problemi.

Stavo studiando gli o-piccolo e mi sono imbattuto in caso particolare, nel momento in cui, partendo da un limite come questo:

$lim_(x->0)(x^2+x^3+8x^4+5x^10)/(x^2+x^3)$

e considerando:

$x^2=o(x)$
$x^3=o(x)$
e via dicendo

mi sono ritrovato in una situazione simile:

$lim_(x->0)(o(x))/(o(x))$

Come dovrei comportarmi in una situazione simile?

[thesniperist]

Ho risolto. Cercando in rete ho trovato che un caso come il mio, ovvero $lim_(h->0)(o(x))/(o(x))$ non ha alcun significato, perchè non dice nulla sul limite da risolvere, di conseguenza, ho considerato il
numeratore: $(x^2+x^3+8x^4+5x10)=x^2+o(x^2)$
e il
denominatore $(x^2+x^3)=x^2+o(x^2)$

ritrovandomi così: $ lim_(x->0)(x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2)) $

ho eseguito poi questi passaggi:

$ lim_(x->0)(x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2)) = lim_(x->0)(x^2(1+((o(x^2))/(x^2))))/(x^2(1+((o(x^2))/(x^2))))= lim_(x->0)(cancel(x^2)(1+((o(x^2))/(x^2))))/(cancel(x^2)(1+((o(x^2))/(x^2))))= lim_(x->0)((1+((o(x^2))/(x^2))))/((1+((o(x^2))/(x^2))))$

Applicando la proprietà dell'o-piccolo, ovvero: $ lim_(h->0)(o(color(red)(f(x))))/(color(red)(f(x)))=0 $

Ottengo che:

$lim_(x->0)((1+(o(x^2))/(x^2)))/((1+((o(x^2))/(x^2))))=lim_(x->0)((1+obrace((ocolor(red)((x^2)))/color(red)(x^2))^("0")))/((1+obrace((ocolor(red)((x^2)))/color(red)(x^2))^("0")))=lim_(x->0)(1+color(red)(0))/(1+color(red)(0))=1$

Che è il risultato del limite.

[LoreT314]

Hai usato un resto non adatto al problema in questione. E' senz'altro vero che $x^2+x^3=o(x)$ per $x->0$ ma è un'approssimazione troppo "rozza", non ha senso avere un resto in $x$ se poi ti manca il termine dominante in $x$ (sarebbe come metterli $o(1)$, è vero ma non serve a niente). Sia a denominatore che a numeratore hai che domina $x^2$, quindi cerca di avere un resto in $x^2$.

[thesniperist]

Grazie mille! Sei stato molto chiaro.

[pilloeffe]

Ciao thesniperist,

Benvenuto sul forum!

"thesniperist":partendo da un limite come questo:

$\lim_{x \to 0}(x^2+x^3+8x^4+5x10)/(x^2+x^3) $

In realtà credo che tu abbia scritto male il limite, che ritengo probabile sia il seguente:

$\lim_{x \to 0}(x^2+x^3+8x^4+5x^10)/(x^2+x^3) $

Quest'ultimo si può risolvere tranquillamente anche senza tirare in ballo gli o-piccolo, semplicemente raccogliendo $x^2 $ a numeratore e a denominatore:

$\lim_{x \to 0}(x^2+x^3+8x^4+5x^10)/(x^2+x^3) = \lim_{x \to 0}(x^2(1 +x+8x^2+5x^8))/(x^2(1+x)) = \lim_{x \to 0}(1 +x+8x^2+5x^8)/(1+x) = 1 $

[thesniperist]

"pilloeffe":Ciao thesniperist,

Benvenuto sul forum!

[quote="thesniperist"]partendo da un limite come questo:

$\lim_{x \to 0}(x^2+x^3+8x^4+5x10)/(x^2+x^3) $

In realtà credo che tu abbia scritto male il limite, che ritengo probabile sia il seguente:

$\lim_{x \to 0}(x^2+x^3+8x^4+5x^10)/(x^2+x^3) $

Quest'ultimo si può risolvere tranquillamente anche senza tirare in ballo gli o-piccolo, semplicemente raccogliendo $x^2 $ a numeratore e a denominatore:

$\lim_{x \to 0}(x^2+x^3+8x^4+5x^10)/(x^2+x^3) = \lim_{x \to 0}(x^2(1 +x+8x^2+5x^8))/(x^2(1+x)) = \lim_{x \to 0}(1 +x+8x^2+5x^8)/(1+x) = 1 $[/quote]

Grazie mille! Ho voluto usare gli o-piccolo per vedere se avevo capito il funzionamento, però non fa niente non fa mai male avere una soluzione in più per lo stesso problema

[thesniperist]

"LoreT314":Hai usato un resto non adatto al problema in questione. E' senz'altro vero che $x^2+x^3=o(x)$ per $x->0$ ma è un'approssimazione troppo "rozza", non ha senso avere un resto in $x$ se poi ti manca il termine dominante in $x$ (sarebbe come metterli $o(1)$, è vero ma non serve a niente). Sia a denominatore che a numeratore hai che domina $x^2$, quindi cerca di avere un resto in $x^2$.

Grazie mille! Sono arrivato alla tua stessa conclusione, ma in modo intuitivo, tu sei stato molto più preciso.