Esercizio numero complesso risolto ma...

[smaug1]

Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso:

$ z = \frac{(1 + i)^{10}}{(1 - i)^{8}} $

scrivendo il tutto in modo esponenziale ho $\frac{(\sqrt{2})^{10} e^{i (10\pi)/4}}{(\sqrt{2})^{8} e^{-i (8\pi)/4 }}$

che mi diventa $2 e^{i (9\pi)/2}$ perchè dovrebbe essere $2i$ ? grazie

[Camillo]

In quanto $9pi/2 = 4pi+pi/2$ quindi quel che resta di significativo all'esponente è solo $pi/2$ , il risultato finale è quindi $2 e^(i*pi/2) = 2 i $ ok ?

[smaug1]

"Camillo":In quanto $9pi/2 = 4pi+pi/2$ quindi quel che resta di significativo all'esponente è solo $pi/2$ , il risultato finale è quindi $2 e^(i*pi/2) = 2 i $ ok ?

Camillo scusami ma non capisco il motivo per cui c'è da riscrivere l'esponente in quel modo, e perchè è importante $\pi/2$

Grazie

[smaug1]

Ho trovato che $w_k = (\sqrt{|z|})^{1/n} e^{(\Theta/n + (2k\pi )/ n)}$ ma non vedo precisamente come usarla!

[DavideGenova1]

$|z|e^(i(\theta+2\pi k)) = |z|e^(i\theta)$ con $k in ZZ$ e $\theta="arg"(z)$ perché, ogni volta che l'argomento $\theta$ è aumentato o diminuito di $2\pi$, ad ogni angolo giro sommato o sottratto ritorni al punto di partenza sul piano complesso. Quindi $2e^(i(\pi/2+ 2k\pi))=2i$.

[smaug1]

ho capito!

[DavideGenova1]

Buono studio!

[smaug1]

grazie mille