Esercizio numero complesso fratto

[ifiore93]

Buonasera,
ho provato a fare questo esercizio ma ho dei dubbi sul mio procedimento.
$((z-i)/(z+i))^3=-i$
Uso le formule polari.
Innanzitutto mi sono calcolato il modulo e l'angolo rispettivamente $r=1$ e $ sin vartheta =-1$
Quindi $ vartheta =(3 pi)/2 $;
Poi ho sostituito $w$ a $((z-i)/(z+i))^3$ ottenendo $w=-i$;
Il problema l'ho riscontrato nel ricavarmi i tre valori perchè per ognuno di essi ho ottenuto lo stesso risultato.
Praticamente ho fatto $ 1(cos ((3 pi)/2 + 2kpi)+i sin ((3 pi)/2 + 2kpi))$con $k=0,1,2$.
Forse ho trovato il problema nel fatto che dovrei fare:$((3 pi)/2 + 2kpi)/3$ dove quel 3 equivale all'esponente della frazione.
Ma non ne sono sicuro.
Aspetto dei chiarimenti da qualcuno.
Grazie

[lo92muse]

Ciao! Si è proprio come dici tu. Quella che usi si chiama formula di de Moivre.
$z^\frac{1}{n}=\rho^\frac{1}{n}[cos(\frac{theta}{n}+\frac{2k\pi}{n})+isin(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n})] $
In questo caso dovresti avere una coppia di soluzioni complesse coniugate e una reale.
Comunque dovresti vedere, anche senza nessun conto che la tua scrittura ti darà sempre lo stesso risultato: infatti per ogni $k $continui ad aggiungere multipli di $2\pi$ che ti riportano sempre allo stesso punto. Prova ..