Esercizio numeri complessi analisi 1
Ciao a tutti! È da ore che mi scervello con questo sistema di numeri complessi.
$\{ (4|z|^2+w^2=1/3), (z*bar(w)/w+ bar(z)=i):}$
Grazie a tutti per le eventuali risposte!!
$\{ (4|z|^2+w^2=1/3), (z*bar(w)/w+ bar(z)=i):}$
Grazie a tutti per le eventuali risposte!!
Risposte
Cos’hai provato finora?
"gugo82":
Cos’hai provato finora?
Ho provato a cercare qualche sostituzione possibile ma non si riesce. Ho provato a trasformare |z|^2 in z * z coniugato ma niente. Se trovi un incognita la trovi sempre in funzione della altra e quindi non so come fare.
Beh, allora si deve ragionare.
Dalla prima ottieni $w^2 = 1/3 - 4 |z|^2$, cosicché $w^2$ è reale positivo, negativo o nullo a seconda che $|z|^2 < 1/12$, $|z|^2 > 1/12$ o $|z|^2 = 1/12$.
Se fosse $|z|^2 = 1/12$ avremmo $w=0$, che non è una soluzione accettabile per la seconda equazione, dunque scartiamo questa eventualità.
Rimangono i casi $|z|^2 < 1/12$ e $|z|^2 > 1/12$.
Nel primo caso, $w$ è reale positivo o negativo (perché $w^2$ è reale positivo), quindi $w = alpha in RR$. Ma allora $bar(w)/w = 1$ e la seconda equazione diventa $z + bar(z) = i$; ma tale equazione non è mai soddisfatta, poiché $z + bar(z) = 2 text(Re)(z) != i$.
Dunque rimane solo il terzo caso, i.e. $|z|^2 > 1/12$.
In tal caso $w$ è immaginario puro (perché $w^2$ è reale negativo), quindi $w = beta i$ con $beta in RR\setminus \{0\}$. Ma allora $bar(w)/w = -1$ e la seconda equazione diventa $z - bar(z) = i$, che è soddisfatta solo se $text(Im)(z) = 1/2$, cioè se $z = a + i/2$ con $a in RR$.
Il vincolo impone $a^2 + 1/4 > 1/12 <=> a^2 > - 1/6$ che è sempre soddisfatta; d’altra parte, dalla prima si ottiene $w^2 = 1/3 - 4 (a^2 + 1/4) = - (2/3 + 4a^2)$, dunque $w = +- i sqrt(2/3 + 4a^2)$.
Ne viene che le soluzioni sono tutte e sole le coppie del tipo $z = a + i/2$ e $w = +- i sqrt(2/3 + 4a^2)$ con $a in RR$.
Ti pare?
Dalla prima ottieni $w^2 = 1/3 - 4 |z|^2$, cosicché $w^2$ è reale positivo, negativo o nullo a seconda che $|z|^2 < 1/12$, $|z|^2 > 1/12$ o $|z|^2 = 1/12$.
Se fosse $|z|^2 = 1/12$ avremmo $w=0$, che non è una soluzione accettabile per la seconda equazione, dunque scartiamo questa eventualità.
Rimangono i casi $|z|^2 < 1/12$ e $|z|^2 > 1/12$.
Nel primo caso, $w$ è reale positivo o negativo (perché $w^2$ è reale positivo), quindi $w = alpha in RR$. Ma allora $bar(w)/w = 1$ e la seconda equazione diventa $z + bar(z) = i$; ma tale equazione non è mai soddisfatta, poiché $z + bar(z) = 2 text(Re)(z) != i$.
Dunque rimane solo il terzo caso, i.e. $|z|^2 > 1/12$.
In tal caso $w$ è immaginario puro (perché $w^2$ è reale negativo), quindi $w = beta i$ con $beta in RR\setminus \{0\}$. Ma allora $bar(w)/w = -1$ e la seconda equazione diventa $z - bar(z) = i$, che è soddisfatta solo se $text(Im)(z) = 1/2$, cioè se $z = a + i/2$ con $a in RR$.
Il vincolo impone $a^2 + 1/4 > 1/12 <=> a^2 > - 1/6$ che è sempre soddisfatta; d’altra parte, dalla prima si ottiene $w^2 = 1/3 - 4 (a^2 + 1/4) = - (2/3 + 4a^2)$, dunque $w = +- i sqrt(2/3 + 4a^2)$.
Ne viene che le soluzioni sono tutte e sole le coppie del tipo $z = a + i/2$ e $w = +- i sqrt(2/3 + 4a^2)$ con $a in RR$.
Ti pare?
La soluzione è questa... Volevo vedere se c'erano delle alternative perché non è immediata
Vabbè, se il testo dell’esercizio non fosse stato riportato male ci saremmo trovati anche col risultato…
Scusami mi ero scordato un due 
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