Esercizio numeri complessi
Ciao,
ho un problema ad iniziare un esercizio sui numeri complessi:
Utilizzando la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, determinare la forma algebrica delle soluzioni dell'equazione: \(\displaystyle z^2 = i\overline{z}\)
Non sò come gestire \(\displaystyle i\overline{z}\) ho provato a riscrivere \(\displaystyle \overline{z}\) come \(\displaystyle(a-ib)\) ed a svolgere il prodotto \(\displaystyle i(a-ib)\) ottenendo \(\displaystyle ia+b\) ma non sò come interpretare il risultato... è avvenuta una trasformazione che scambia la parte reale con quella immaginaria?
Nel caso il passaggio fosse giusto, per proseguire come devo poi gestire il numero \(\displaystyle ai+b\) trovato?
Grazie mille
ho un problema ad iniziare un esercizio sui numeri complessi:
Utilizzando la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, determinare la forma algebrica delle soluzioni dell'equazione: \(\displaystyle z^2 = i\overline{z}\)
Non sò come gestire \(\displaystyle i\overline{z}\) ho provato a riscrivere \(\displaystyle \overline{z}\) come \(\displaystyle(a-ib)\) ed a svolgere il prodotto \(\displaystyle i(a-ib)\) ottenendo \(\displaystyle ia+b\) ma non sò come interpretare il risultato... è avvenuta una trasformazione che scambia la parte reale con quella immaginaria?
Nel caso il passaggio fosse giusto, per proseguire come devo poi gestire il numero \(\displaystyle ai+b\) trovato?
Grazie mille
Risposte
Ciao!
Usare il consiglio iniziale,forse,non è una cattiva idea :wink;
scritto il numero dato in forma trigonometrica basterà ricordare la formula di De Moivre,
per poi esprimere il coniugato in funzione di $rho$ e $theta$(e non è impossibile,se ci pensi un attimo..)
ed utilizzare infine la c.n.s. sull'uguaglianza tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica:
a quel punto,ad occhio e croce(ma non ho fatto i conti,e dunque prendila solo come potenziale buona strategia..),
ti basterà tornare "indietro" alla forma algebrica.
Saluti dal web.
Usare il consiglio iniziale,forse,non è una cattiva idea :wink;
scritto il numero dato in forma trigonometrica basterà ricordare la formula di De Moivre,
per poi esprimere il coniugato in funzione di $rho$ e $theta$(e non è impossibile,se ci pensi un attimo..)
ed utilizzare infine la c.n.s. sull'uguaglianza tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica:
a quel punto,ad occhio e croce(ma non ho fatto i conti,e dunque prendila solo come potenziale buona strategia..),
ti basterà tornare "indietro" alla forma algebrica.
Saluti dal web.
Direi che è la strada giusta 
Ora provo a calcolare il tutto ma la prima cosa che salta all'occhio è che \(\displaystyle i\overline{z} = z \) (se non ho sbagliato qualcosa)
Ora provo a calcolare il tutto ma la prima cosa che salta all'occhio è che \(\displaystyle i\overline{z} = z \) (se non ho sbagliato qualcosa)
"koalaz":
la prima cosa che salta all'occhio è che \(\displaystyle i\overline{z} = z \) (se non ho sbagliato qualcosa)
Ciao, io direi di no, viceversa l'equazione $z^2=i \overline{z}$ si ridurrebbe a $z^2=z$.
Però sapendo che:
\(\displaystyle i = cos(\pi/2)+isen(\pi/2) \)
\(\displaystyle \overline{z} = (a-ib)\) e quindi in forma trigonometrica \(\displaystyle \sqrt{2}(cos(7\pi/4)+isen(7\pi/4))\)
facendo ora \(\displaystyle i\overline{z}\) quindi "prodotto dei moduli e somma degli angoli"
si ottiene
\(\displaystyle \sqrt{2}(cos(\pi/4)+isen(\pi/4))\) che altro non è che \(\displaystyle z\) in forma trigonometrica
probabilmente sbaglio ma non capisco dove
\(\displaystyle i = cos(\pi/2)+isen(\pi/2) \)
\(\displaystyle \overline{z} = (a-ib)\) e quindi in forma trigonometrica \(\displaystyle \sqrt{2}(cos(7\pi/4)+isen(7\pi/4))\)
facendo ora \(\displaystyle i\overline{z}\) quindi "prodotto dei moduli e somma degli angoli"
si ottiene
\(\displaystyle \sqrt{2}(cos(\pi/4)+isen(\pi/4))\) che altro non è che \(\displaystyle z\) in forma trigonometrica
probabilmente sbaglio ma non capisco dove
"koalaz":
Però sapendo che:... \(\displaystyle \sqrt{2}(cos(7\pi/4)+isen(7\pi/4))\)
Come fai a dire a priori che $z$ è quello? E comunque è sbagliato.
Metti: $z= rho (\cos theta + i \sin theta)$; nell'equazione di partenza uguaglia il modulo dei due membri e trovi un'equazione (reale) in $rho$, precisamente $rho^2=rho$, da cui deduci che $rho=0$, e una soluzione, la più ovvia, salta fuori; oppure $rho=1$ per cui puoi scrivere semplicemente: $z= \cos theta + i \sin theta$; a questo punto hai:
$z^2= \cos 2theta + i \sin 2theta$, $i\overline(z)=i( \cos theta -i\sin theta)=i \cos theta+\sin theta$,
metti nell'equazione di partenza, uguagli parte reale del primo membro a parte reale del secondo, e idem per quelle immaginarie, risolvi le due equazioni trigonometriche a sistema e trovi le altre tre soluzioni. Che se non vedo male sono $z=-i$, $z=(sqrt(3) \pm i)/2$.
Ciao.
Il "però sapendo che" sarebbe un "avendo calcolato che".
Facendo le trasformazioni ed i calcoli quello si ottiene, e logicamente credo sia anche esatto in quanto rappresentando graficamente z questo stà sulò cerchio trigonometrico nella posizione (\(\displaystyle \sqrt{2}(cos(\pi/4)+isen(\pi/4))\) ) e si vede che il suo coniugato è proprio ( \(\displaystyle \sqrt{2}(cos(7\pi/4)+isen(7\pi/4))\).
Ovvero medesimo modulo ma angolo opposto.
Ora provo ad applicare il tuo suggerimento ma - per ora - non riesco comunque a vedere quale errore logico o di calcolo ho fatto.
Facendo le trasformazioni ed i calcoli quello si ottiene, e logicamente credo sia anche esatto in quanto rappresentando graficamente z questo stà sulò cerchio trigonometrico nella posizione (\(\displaystyle \sqrt{2}(cos(\pi/4)+isen(\pi/4))\) ) e si vede che il suo coniugato è proprio ( \(\displaystyle \sqrt{2}(cos(7\pi/4)+isen(7\pi/4))\).
Ovvero medesimo modulo ma angolo opposto.
Ora provo ad applicare il tuo suggerimento
ma - per ora - non riesco comunque a vedere quale errore logico o di calcolo ho fatto.
Rettifico: le ultime due soluzioni non sono:
In ogni caso il vincolo di dover risolvere l'equazione usando la forma trigonometrica è antieconomico: in forma esponenziale la soluzione è praticamente immediata.
"Palliit":, bensì: $z=(\pm sqrt(3) +i)/2$.
$z=(sqrt(3) \pm i)/2$
In ogni caso il vincolo di dover risolvere l'equazione usando la forma trigonometrica è antieconomico: in forma esponenziale la soluzione è praticamente immediata.
Ci stò ancora ragionando un pò su... comunque una tua scrttura dovrebbe essere errata in quanto:
\(\displaystyle \overline{z} =\rho(cos(-\theta)+isen(-\theta)) \) e non \(\displaystyle \rho(cos(\theta)-isen(\theta)) \)
\(\displaystyle \overline{z} =\rho(cos(-\theta)+isen(-\theta)) \) e non \(\displaystyle \rho(cos(\theta)-isen(\theta)) \)
[tex]\forall \vartheta \in \mathbb{R}:\left\{\begin{matrix}
\cos(-\vartheta )=\cos(\vartheta ) \\
\sin(-\vartheta )=-\sin(\vartheta )\end{matrix}\right.[/tex].
In ogni caso puoi testare qualunque soluzione sostituendola nell'equazione (in quella iniziale, non modificata in alcun modo)
\cos(-\vartheta )=\cos(\vartheta ) \\
\sin(-\vartheta )=-\sin(\vartheta )\end{matrix}\right.[/tex].
In ogni caso puoi testare qualunque soluzione sostituendola nell'equazione (in quella iniziale, non modificata in alcun modo)
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