Esercizio numeri complessi
Ciao, ho quest'esercizio:
$[(1-i)/(1+i)]^8$
Io ragiono così: il numero complesso scritto nelle parentesi non è in forma algebrica, quindi affinchè sia tale bisogna moltiplicare il numeratore e il denominatore per il complesso coniugato del denominatore, cioè $1-i$.
Una volta scritto il numero complesso in forma algebrica, ricavo $a$ e $b$, cioè i coefficienti della parte reale e immaginaria, calcolo il modulo e l'argomento, e scrivo il numero complesso in forma trigonometrica. Quindi applico la formula di De moivre ed ottengo il risultato. E' giusto il procedimento?
In quale altro modo si può risolvere l'esercizio?
$[(1-i)/(1+i)]^8$
Io ragiono così: il numero complesso scritto nelle parentesi non è in forma algebrica, quindi affinchè sia tale bisogna moltiplicare il numeratore e il denominatore per il complesso coniugato del denominatore, cioè $1-i$.
Una volta scritto il numero complesso in forma algebrica, ricavo $a$ e $b$, cioè i coefficienti della parte reale e immaginaria, calcolo il modulo e l'argomento, e scrivo il numero complesso in forma trigonometrica. Quindi applico la formula di De moivre ed ottengo il risultato. E' giusto il procedimento?
In quale altro modo si può risolvere l'esercizio?
Risposte
Eeee allora o svolgi i conti e muori dal dolore, o fai considerazioni intelligenti sul modulo e sull'argomento. A te la scelta.
qualcuno può aiutarmi?
Ma scusa, come pretendi di essere aiutato se neanche hai scritto cosa devi fare?
il testo dell'esercizio è "calcolare i seguenti numeri complessi".
Te l'ho detto come aiutarti: fai considerazioni intelligenti sul modulo e sull'argomento. Essendo il modulo del numeratore entro parentesi uguale a quello del denominatore il tuo numero complesso entro parentesi ha modulo 1. Chiaramente poi [tex]1^8=1[/tex] Quindi hai modulo uno. Per l'argomento trova quello del numero entro parentesi e poi ottuplica (a meno di multipli di giro).
"Fedecart":
Te l'ho detto come aiutarti: fai considerazioni intelligenti sul modulo e sull'argomento. Essendo il modulo del numeratore entro parentesi uguale a quello del denominatore il tuo numero complesso entro parentesi ha modulo 1. Chiaramente poi [tex]1^8=1[/tex] Quindi hai modulo uno. Per l'argomento trova quello del numero entro parentesi e poi ottuplica (a meno di multipli di giro).
quindi quello che sta tra parentesi è il quoziente di due numeri complessi?
Beh si, uno è [tex]1-i[/tex] e l'altro è [tex]1+i[/tex]. La linea di frazione rappresenta una divisione. Dato che il prodotto (o il rapporto) di moduli non è altro che il modulo del prodotto (o del rapporto) puoi calcolare il modulo del numeratore, dividere per quello del denominatore, e poi elevare tutto all'ottava. Per l'argomento invece devi prima capire che argomento ha il numero entro parentesi, poi ottuplichi (a meno di giri perchè ci piace sempre più l'argomento principale!)
"Fedecart":
Beh si, uno è [tex]1-i[/tex] e l'altro è [tex]1+i[/tex]. La linea di frazione rappresenta una divisione. Dato che il prodotto (o il rapporto) di moduli non è altro che il modulo del prodotto (o del rapporto) puoi calcolare il modulo del numeratore, dividere per quello del denominatore, e poi elevare tutto all'ottava. Per l'argomento invece devi prima capire che argomento ha il numero entro parentesi, poi ottuplichi (a meno di giri perchè ci piace sempre più l'argomento principale!)
Allora, io ho considerato separatamente i due numeri complessi, $1-i$ e $1+i$ e li ho scritti in forma trigonometrica. Il modulo di entrambi è $ sqrt(2) $ mentre l'argomento è $-45°$ nel primo numero, $45°$ nel secondo. Quindi $1-i$=$ sqrt(2) $ $[cos(-45°)+isin(-45°)]$, mentre $1+i$= $ sqrt(2) $ $[cos45°+isin45°]$.
A questo punto ho scritto il tutto così:
{$ sqrt(2) $$[cos(-45°)+isin(-45°)]$/$ sqrt(2) $ $[cos45°+isin45°]}^8=[cos(-90°)+isin(-90°)]^8=(-1)^8=1.
E' giusto il procedimento?
Più semplice " razionalizza " la frazione moltiplicando numeratore e denominatore per $(1-i )$ in modo che il denominatore diventi reale : $(1-i)/(1+i)=(1-i)^2/(1^2-i^2) = -i $ .
"Camillo":
Più semplice " razionalizza " la frazione moltiplicando numeratore e denominatore per $(1-i )$ in modo che il denominatore diventi reale : $(1-i)/(1+i)=(1-i)^2/(1^2-i^2) = -i $ .
ok, ma in altri esercizi "razionalizzando", cioè moltiplicando per il complesso coniugato esce una forma complicata difficile da gestire, quindi non penso sia un metodo universale quello da te descritto o sbaglio?
Non è universale, in questo caso era il metodo più naturale e che minimizza i calcoli 
[OT]
Non vedevo degli angoli misurati in gradi da quando ho fatto il terzo liceo, ben dodici anni fa...
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Non vedevo degli angoli misurati in gradi da quando ho fatto il terzo liceo, ben dodici anni fa...
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"gugo82":
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Non vedevo degli angoli misurati in gradi da quando ho fatto il terzo liceo, ben dodici anni fa...
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non so come si fa pigreco
Semplicemente pi preceduto e seguito dal simbolo del dollaro : $pi $ .
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