Esercizio numeri complessi

[foxxucv]

Ciao a tutti,
mi sto preparando per un esame di Analisi I, e ho trovato un'esercizio che non riesco a fare..
"Sia $z = a + ib$ con $a, b$ $\epsilon$ $RR$ . La parte reale del numero $e^(iz)e^(\bar z)$ è:" ... e la risposta esatta è $e^(a-b)cos(a-b)$.

Dato che non ho la più pallida idea di come arrivarci, qualcuno potrebbe illuminarmi? Grazie

[pilloeffe]

Ciao foxxucv,

Non mi pare così complicato... Sostituendo $ z = a + ib $ e $\bar z = a - ib $, si ha:

$e^{iz}e^{\bar z} = e^{ia - b}e^{a - ib} = e^{-b}(cos a + i sin a) e^a (cos b - i sin b) = $
$ = e^{a - b}(cos a cos b - i cos a sin b + i sin a cos b + sin a sin b) = $
$ = e^{a - b}[cos a cos b + sin a sin b + i(sin a cos b - cos a sin b)] = $
$ = e^{a - b}[cos (a - b) + i sin(a - b)] $

da cui si vede subito che

$ Re[e^{iz}e^{\bar z}] = e^{a - b} cos (a - b) $

[foxxucv]

Immaginavo fosse semplice.. però non sono molto pratico coi numeri complessi quindi ho qualche difficoltà..
Comunque ho capito la soluzione studiandola passo passo, grazie mille!