Esercizio numeri complessi

[chiav53]

Supponiamo di avere un segmento di vertici $A$ e $B$, dove $A=-1$ e $B=x+iy$
voglio trovare le coordinate, rispetto al piano complesso, del vertice $C$ del segmento $AC$ che si ottiene ruotando il segmento $AB$ in senso orario di 90 gradi intorno al vertice $A$.
Il procedimento che ho sulle dispense è il seguente:
$B-A=x+iy-(-1)=x+iy+1$
ora si moltiplica per $-i$:
$-i(B-A)=-ix+y-i$
Infine il punto $C$ è dato da:
$C=A-i(B-A)=-1-ix+y-i=y-1+i(-x-1)$
Vorrei sapere intanto se il procedimento è giusto, e poi perché per trovare $C$ si segue questo procedimento.
Grazie a tutti

[ciampax]

Il procedimento è corretto. La differenza $B-A$ fornisce il segmento orientato $AB$ (puoi vedere $A, B$ sia come punti del piano che come vettori, per cui $B=OB$ e $A=OA$ vettore, e quindi $B-A$ è proprio il vettore cercato). Inoltre, la moltiplicazione per $-i$ equivale alla rotazione di 90 gradi in senso orario. Qui la cosa viene fuori dalla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi: se $z=x+iy$ esso si può anche scrivere come $z=\rho(\cos t+i\sin t)$ dove $\rho=|z|$ è la distanza del punto $z$ dall'origine e $t$ l'angolo che il segmento $Oz$ forma con l'asse $x$. Allora il valore $-i=0+i(-1)$ corrisponde in forma trigonometrica al numero $1(\cos\pi/2-i\sin\pi/2)=1[\cos(-\pi/2)+i\sin(-\pi/2)]$ che è proprio un valore numerico ruotato di $-\pi/2$ (cioè 90 gradi in senso orario).