Esercizio numeri complessi

[l.lauria94]

Qualcuno dotato di pazienza può spiegarmi i passaggi da effettuare per risolvere tale esercizio?

Grazie a tutti!

Sia $z_0$ un numero complesso non reale soluzione dell'equazione

$z^4 + iz = 0$

Segnare nel piano complesso i numeri $z_0, \bar{z_0} e 2/z_0$

[boske]

Prima di tutto dividi entrambi i membri per z (z=0 è una soluzione reale che l'esercizio esplicitamente non chiede):
$ z^3+i=0hArr z^3=-i $
$ -i $ può essere scritto in coordinate polari come $ cos (3pi/2)+isin (3pi/2) $
Scrivendo z come
$ z=rho (cosTheta +isinTheta) $
per soddisfare l'equazione deve essere $ rho =1 $ e $ Theta =(3pi/2+2kpi)/3,k=0,1,2 $
(cioè sia modulo $ rho $ sia angoli $ Theta $ devono essere uguali)
Le soluzioni sono $ z_0=i,z_1=1/2(-sqrt3-i),z_2=1/2(sqrt3-i) $ (verifica riscrivendole in forma polare). Una volta ottenuto $ z_0 $ ottieni
$ bar(z_0) =-i,2/z_o=2/i $

[l.lauria94]

Grazie per l'aiuto, ma avrei dei dubbi da esporti..

Tramite quale formula trovi $\theta$ ? Il $k$ per cosa sta?

E un'ultima domanda, con $z_0$ viene inteso come?

Grazie mille

[boske]

Ho trovato $ Theta $ usando la formula di De Moivre:
$ AA n>= 1 $
$ z^n=(rho (cosPhi +isinPhi ))^n=rho ^n(cosnTheta +isinnTheta ) $
In questo caso $ n=1/3 $ perché bisogna estrarre la radice terza
Il $ k $ è semplicemente un numero naturale con cui moltiplico la periodicità del seno e del coseno ( $ 2pi $ moltiplicato per $ k $ ) Per il teorema fondamentale dell'algebra se un equazione è di grado $ n $ il numero delle soluzioni è $ n $ ed è per questo che i $ k $ che ho trovato sono tre: $ 0,1,2 $
Con $ z_0 $ intendevo la soluzione relativa al valore $ k=0 $ e analogamente con $ z_1,z_2 $ le soluzioni relative a $ k=1,k=2 $
Figurati