Esercizio numeri complessi
Salve, il mio professore ci ha lasciato alcuni esercizi sui numeri complessi, ma ce n'è uno che proprio non capisco! E penso di aver capito bene nemmeno la conegna.
Il testo è il seguente: Determinare tutti e soli i numeri complessi Z tali che:
a) Risultano coniugati al proprio quadrato
b) Risultano coniugati al proprio cubo
Quindi non capisco se devo trovare tutti gli Z tali che $ bar(z)=z^2 $ oppure viceversa $ z=bar(z^2) $ e la stessa cosa poi per il cubo. Ed in entrambi i casi non so come ragionare per arrivarci
Supponendo che sia il primo caso io scriverei $ x-jy=x^2-y^2+2jxy $ , da cui ricavo $ x=x^2-y^2 $ e $ -y=2xy $ .
Ma la cosa non mi sembra abbia molto senso...
Il testo è il seguente: Determinare tutti e soli i numeri complessi Z tali che:
a) Risultano coniugati al proprio quadrato
b) Risultano coniugati al proprio cubo
Quindi non capisco se devo trovare tutti gli Z tali che $ bar(z)=z^2 $ oppure viceversa $ z=bar(z^2) $ e la stessa cosa poi per il cubo. Ed in entrambi i casi non so come ragionare per arrivarci
Supponendo che sia il primo caso io scriverei $ x-jy=x^2-y^2+2jxy $ , da cui ricavo $ x=x^2-y^2 $ e $ -y=2xy $ .
Ma la cosa non mi sembra abbia molto senso...
Risposte
"Moonstone":
Il testo è il seguente: Determinare tutti e soli i numeri complessi Z tali che:
a) Risultano coniugati al proprio quadrato
Un numero complesso, chiamiamolo $z$, deve essere tale che il suo quadrato è uguale al suo coniugato. Almeno io interpreto così, quindi direi che
$\barz=z^2$
"Moonstone":
Supponendo che sia il primo caso io scriverei $ x-jy=x^2-y^2+2jxy $ , da cui ricavo $ x=x^2-y^2 $ e $ -y=2xy $ .
Ma la cosa non mi sembra abbia molto senso...
Proviamo ad esaminare un'equazione per volta
$-y=2xy$
dividendo entrambi i membri per y (escludiamo quindi tutti i punti che hanno ordinata nulla)
otteniamo
$-1=2x$ da cui $x=-1/2$
ora andiamo a sostituire nell'altra
$x=x^2-y^2$ che opportunamente manipolata è equivalente a $y^2=x^2-x$
da cui $y^2=1/4+1/2=3/4$
allora ottengo due $y$
$y_1=+sqrt3/2$
$y_2=-sqrt3/2$
i numeri complessi che trovo sono
$z_1=-1/2+sqrt3/2$
$z_2=-1/2-sqrt3/2$
per controllare se la risposta è corretta basta sostituire nella equazione iniziale e verificare che l'uguaglianza sia ancora valida.
Resta da vedere come si comportano i numeri che hanno la $y$ nulla, cioè i soli numeri reali (il cui coniugato sono loro stessi): ce ne sono alcuni il cui quadrato sia uguale a loro stessi? Mi vengono in mente solo $1$ e $0$.
Non sono sicura della validità della mia soluzione, tu cosa ne pensi?
Si mi sono rifatto i calcoli seguendo il tuo ragionamento e sono arrivato agli stessi risultati, e per i due complessi trovati l'identità $ bar(z)=z^2 $ è verificata!
Per il caso di $ Y=0 $ come hai detto te Z appartiene ai reali, e la consegna chiedeva solo i numeri complessi quindi non credo sia da verificare. Però mi hai fatto venire in mente il caso in cui sia $ x=0 $ , in tal caso avrei $ z=jy $ e rimane un numero complesso.
Però $ z^2=-y^2 $ quindi per far si che $ bar(z)=z^2 $ devo avere $ -jy=y^2 $ la cui unica soluzione sarebbe $ y=0 $ e quindi avrei come soluzione $ z=0 $ e non saprei sinceramente se prenderla in considerazione...
Comunque adesso provo anche a cercare gli z tali che $ bar(z)=z^3 $ , tanto il procedimento dovrebbe essere identico ma almeno me lo svolgo da solo!
Per il caso di $ Y=0 $ come hai detto te Z appartiene ai reali, e la consegna chiedeva solo i numeri complessi quindi non credo sia da verificare. Però mi hai fatto venire in mente il caso in cui sia $ x=0 $ , in tal caso avrei $ z=jy $ e rimane un numero complesso.
Però $ z^2=-y^2 $ quindi per far si che $ bar(z)=z^2 $ devo avere $ -jy=y^2 $ la cui unica soluzione sarebbe $ y=0 $ e quindi avrei come soluzione $ z=0 $ e non saprei sinceramente se prenderla in considerazione...
Comunque adesso provo anche a cercare gli z tali che $ bar(z)=z^3 $ , tanto il procedimento dovrebbe essere identico ma almeno me lo svolgo da solo!
"Moonstone":
Si mi sono rifatto i calcoli seguendo il tuo ragionamento e sono arrivato agli stessi risultati, e per i due complessi trovati l'identità $ bar(z)=z^2 $ è verificata!
Per il caso di $ Y=0 $ come hai detto te Z appartiene ai reali, e la consegna chiedeva solo i numeri complessi quindi non credo sia da verificare.
Forse mi sbaglio io, ma... tutti i reali non sono anche complessi? In altri termini, $RR$ è contenuto o no in $CC$?
"Moonstone":
Comunque adesso provo anche a cercare gli z tali che $ bar(z)=z^3 $ , tanto il procedimento dovrebbe essere identico ma almeno me lo svolgo da solo! :)
hai capito come si fa per imparare, posta comunque la tua soluzione.
Si hai ragione non ci pensavo! Farò anche il caso di per x=0 
.
Intanto ti posto la soluzione per il cubo di z che però non mi torna perchè mi vengono soluzioni di x e y complesse.
Allora, devo trovare i complessi z tali che $ bar(z)=z^3 $ .
$ z^3=x^3-jy^3+3jx^2y-3xy^2 $
Uguagliando parte Im e Re trovo
$ x=x^3-3xy^2 $
$ -y=-y^3+x^2y $
Da cui trovo
$ y^2=(1+x^2)/3 $
$ x^2=1+y^2 $
Mettendole a sistema ricavo x e y:
$ y^2=-(1-x^2)/3 $
$ 3x^2=-1+y^2 $
Sostituisco la y:
$ 3x^2=(x^2-1)/3-1 $
$ 8x^2=-4 $
Da qui vedo che x sarebbe un numero complesso, ma x appartiene ai reali. I calcoli li ho controllati diverse volte, il cubo mi sembra di averlo fatto giusto, che non ci sano soluzioni?
Ah e svolgendo i calcoli sostituendo la x invece che la y, mi vengono comunque valori di y complessi.
.Intanto ti posto la soluzione per il cubo di z che però non mi torna perchè mi vengono soluzioni di x e y complesse.
Allora, devo trovare i complessi z tali che $ bar(z)=z^3 $ .
$ z^3=x^3-jy^3+3jx^2y-3xy^2 $
Uguagliando parte Im e Re trovo
$ x=x^3-3xy^2 $
$ -y=-y^3+x^2y $
Da cui trovo
$ y^2=(1+x^2)/3 $
$ x^2=1+y^2 $
Mettendole a sistema ricavo x e y:
$ y^2=-(1-x^2)/3 $
$ 3x^2=-1+y^2 $
Sostituisco la y:
$ 3x^2=(x^2-1)/3-1 $
$ 8x^2=-4 $
Da qui vedo che x sarebbe un numero complesso, ma x appartiene ai reali. I calcoli li ho controllati diverse volte, il cubo mi sembra di averlo fatto giusto, che non ci sano soluzioni?
Ah e svolgendo i calcoli sostituendo la x invece che la y, mi vengono comunque valori di y complessi.
Mi scuso per l'intromissione (ciao Gio!).
Moonstone, hai già visto la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi, quella in cui poni: [size=120]$z= \rho* e^(i \phi)$[/size] ? Se sì, qua andrebbe a meraviglia...
Moonstone, hai già visto la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi, quella in cui poni: [size=120]$z= \rho* e^(i \phi)$[/size] ? Se sì, qua andrebbe a meraviglia...
Macchè figurati, anzi grazie per il consiglio! Mi devo "disabituare" dalle superiori e prendere per buono un metodo senza pensare ad altri possibili metodi che mi faciliterebbero la cosa, infatti provando con la forma polare è stato tutto più semplice! Anche se la periodicità dell'esponenziale mi mette un po' in difficoltà ed ho paura di sbagliare! Comunque ora i risultati tornano, vi scrivo comunque il procedimento che ho fatto che magari avete dei suggerimenti
$ bar(z)=rho e^(-iphi) $
$ z^3=rho^3e^(i3phi) $ $ rhoe^(-iphi)=rho^3e^(3iphi) $
Da qui trovo che $ rho=0,1,-1 $ sono soluzioni.
Prendendo il caso $ rho=1 $
$ e^(-iphi)=e^(3iphi) $
Ma essendo l'esponenziale complessa periodica, aggiungo $ 2pi k i $ per non perdere soluzioni
$ e^(-iphi)=e^(3iphi+2piki) $
$ -phi=3phi+2pik $
$ phi=(-kpi)/2 $
Adesso, dato che k appartiene ai naturali lo faccio variare fino a che non trovo tutte le soluzioni possibili.
Trovo quindi $ phi= 0,-(pi)/2,-pi,+pi/2 $
Queste sono le soluzioni per $ rho=1 $ , supponendolo invece $ rho=-1 $ la cosa è equivalente perchè trovo $ phi=+(kpi)/2 $.
Quindi le soluzioni sono $ Z=0,1,-1,i,-i $
Mi chiedo solamente, quando ho fatto variare i valori di k io ho continuato fino a che non ho trovato una soluzione già precedentemente trovata, non c'è un modo per capire già da prima quanti sono i valori diversi di z possibili?
$ bar(z)=rho e^(-iphi) $
$ z^3=rho^3e^(i3phi) $ $ rhoe^(-iphi)=rho^3e^(3iphi) $
Da qui trovo che $ rho=0,1,-1 $ sono soluzioni.
Prendendo il caso $ rho=1 $
$ e^(-iphi)=e^(3iphi) $
Ma essendo l'esponenziale complessa periodica, aggiungo $ 2pi k i $ per non perdere soluzioni
$ e^(-iphi)=e^(3iphi+2piki) $
$ -phi=3phi+2pik $
$ phi=(-kpi)/2 $
Adesso, dato che k appartiene ai naturali lo faccio variare fino a che non trovo tutte le soluzioni possibili.
Trovo quindi $ phi= 0,-(pi)/2,-pi,+pi/2 $
Queste sono le soluzioni per $ rho=1 $ , supponendolo invece $ rho=-1 $ la cosa è equivalente perchè trovo $ phi=+(kpi)/2 $.
Quindi le soluzioni sono $ Z=0,1,-1,i,-i $
Mi chiedo solamente, quando ho fatto variare i valori di k io ho continuato fino a che non ho trovato una soluzione già precedentemente trovata, non c'è un modo per capire già da prima quanti sono i valori diversi di z possibili?
Bravo/a ! Però tieni presente che il modulo $rho$ è definito $rho >=0$ ...
Per la periodicità basta che consideri che l'anomalia $phi$ dev'essere $0<=phi<2 pi$ : quando i valori che assegni a $k$ fanno uscire $phi$ dall'intervallo in questione, allora ricadi inevitabilmente su soluzioni già considerate.
Per la periodicità basta che consideri che l'anomalia $phi$ dev'essere $0<=phi<2 pi$ : quando i valori che assegni a $k$ fanno uscire $phi$ dall'intervallo in questione, allora ricadi inevitabilmente su soluzioni già considerate.
Sisi lo so però nel mio caso le uniche soluzioni del modulo erano $ rho=0,1,-1 $ no?
Per la fase si è vero però mi chiedevo se c'erano un modo per predire proprio quanti saranno esattamente i valori diversi di z, senza dover necessariamente continuare a variare k fino a che esci dall'intervallo $ [0,2pi] $ , comunque grazie di tutto! Ed è bravo ahah
Per la fase si è vero però mi chiedevo se c'erano un modo per predire proprio quanti saranno esattamente i valori diversi di z, senza dover necessariamente continuare a variare k fino a che esci dall'intervallo $ [0,2pi] $ , comunque grazie di tutto!
Ed è bravo ahah
i valori di $rho$ sono quelli ma quello negativo non è accettabile. Puoi sapere a priori il numero di soluzioni in base a quante volte il periodo è contenuto nel giro, nel tuo caso ad esempio hai: $T=pi/2$ quindi le soluzioni sono quattro ($(2pi)/T=4$)
Aah si hai ragione! Infatti ora che ci penso quando ho calcolato le soluzioni per $ rho=1 e rho=-1 $ erano uguali, ed il meno lo si considera nella fase non nel modulo!
Ok tutto chiaro, grazie mille
Ok tutto chiaro, grazie mille
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