Esercizio num complessi
ciao a tutti mi sono imbattuto in questa equazione complessa dove veniva richiesto di determinare il numero di soluzioni e trovarle:
$z\bar z - \bar z + 2z + 2 =0$
sinceramente non saprei proprio che metodo utilizzare se non provare a sostituire z=a+ib però poi mi blocco perchè non saprei che strada intraprendere
$z\bar z - \bar z + 2z + 2 =0$
sinceramente non saprei proprio che metodo utilizzare se non provare a sostituire z=a+ib però poi mi blocco perchè non saprei che strada intraprendere
Risposte
La tua idea mi sembra corretta, tutto sta nel seguire la strada fino in fondo.
Posto $z = x+iy$ (con $x,y \in RR$) si ha $\bar(z) = x-iy$ e $z\bar(z)=x^2+y^2$ per cui l'equazione diventa
$x^2+y^2-x+iy+2x+2iy+2 = 0$
e riordinando si ottiene (se non ho fatto male i conti)
$(x^2+y^2+x+2) + i(3y) = 0$
Ora un numero complesso è uguale a 0 se sono zero...
Perciò le soluzioni dell'equazione si trovano...
Posto $z = x+iy$ (con $x,y \in RR$) si ha $\bar(z) = x-iy$ e $z\bar(z)=x^2+y^2$ per cui l'equazione diventa
$x^2+y^2-x+iy+2x+2iy+2 = 0$
e riordinando si ottiene (se non ho fatto male i conti)
$(x^2+y^2+x+2) + i(3y) = 0$
Ora un numero complesso è uguale a 0 se sono zero...
Perciò le soluzioni dell'equazione si trovano...
allora, correggimi se sbaglio, parte reale e parte immaginaria devono essere uguali a zero, quindi 3y deve essere uguale a 0 -> y=0. dopodichè sostituisco la y alla parte reale e mi viene una equazione di secondo grado in x alla quale trovo le 2 radici in modo tale che sia 0 giusto?
Esatto!
Occhio al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado...
Occhio al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado...
il delta nelle radici dell'equazione sono negativi quindi visto che non cerchiamo il numero complesso ma x e y che appartengono ai reali non possiamo tenerle conto come soluzioni e resta solo y=0?
Affinchè una coppia $(x, y)$ sia soluzione, devono verificarsi insieme $Re(z)=0$ e $Im(z)=0$, quindi da quello che hai detto segue che...
se è corretto il mio ragionamento che x non può assumere radici negative perchè una variabile appartenente ai numeri reali vuol dire che la parte reale del numero complesso non potrà mai essere uguale a 0 e quindi mi viene da dire che non ci sono soluzioni corretto?
Esatto, questa è proprio la risposta corretta: l'equazione iniziale non ammette soluzioni perché il numero complesso nel membro di sinistra non può mai avere parte reale uguale a zero. 
ottimo, grazie per avermi fatto ragionare e grazie per le risposte!
Di niente.
Buona matematica!
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