Esercizio norma di un operatore

[robbstark1]

Sia $u in L^2 (0,1)$, e $A$ l'operatore così definito:
$Au = int_{0}^{x} u(y) dy $.
Provare che $||Au|| <= 2/(pi) ||u||$.
Suggerimento:

Sviluppare $u$ in serie rispetto alla base ortonormale ${ e_n(x) = sqrt(2) cos{ (2n-1)/2 pi x} }$

Ho provato in vari modi, usando serie note e/o l'identità di Parseval, ottenendo sempre una minorazione più rozza di quella richiesta. Riuscite ad ottenere la minorazione richiesta?

[gugo82]

Ci si deve sporcare le mani coi contarielli, ma è facile.

Siano \(c_n\) i coefficienti di Fourier di \(u\), di modo che abbiamo:
\[
\begin{split}
Au(x) &= \sum_{n=1}^\infty c_n\ \sqrt{2}\ \int_0^x \cos \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\\
&= \sum_{n=1}^\infty c_n\ \sqrt{2}\ \frac{2}{(2n-1)\ \pi}\ \sin \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\; .
\end{split}
\]
D'altra parte è:
\[
\begin{split}
\int_0^1 \sin^2 \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right) &= \cancel{- \frac{2}{(2n-1)\pi}\ \sin \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\ \cos \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right) \Bigg|_0^1} + \int_0^1 \cos^2\left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\\
&= 1 - \int_0^1 \sin^2\left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\left\| \sin \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\right\| = \left( \int_0^1 \sin^2 \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\; ;
\]
e però per \(n\neq m\):
\[
\begin{split}
\int_0^1 \sin \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)\ \sin \left( \frac{2m-1}{2}\pi x\right) &= \frac{1}{2}\ \int_0^1 \cos \left( (n-m)\pi x\right) - \frac{1}{2}\ \int_0^1 \cos \left( (n+m-1)\pi x\right)\\
&=0
\end{split}
\]
cosicché il sistema:
\[
\Bigg\{ \underbrace{\sqrt{2}\ \sin \left( \frac{2n-1}{2}\pi x\right)}_{=: d_n(x)}\Bigg\}
\]
è ortogonale. Conseguentemente si può scrivere:
\[
Au(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2\ c_n}{(2n-1)\ \pi}\ d_n(x)
\]
ed, usando l'uguaglianza di Parseval:
\[
\| Au\|^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4\ c_n^2}{(2n-1)^2\ \pi^2}\; .
\]
Però, come già osservato, usando sempre Parseval si trova:
\[
\|u\|^2 =\sum_{n=1}^\infty c_n^2\; ,
\]
e dall'evidentissima maggiorazione:
\[
\frac{4}{(2n-1)^2\ \pi^2} \leq \frac{4}{\pi^2}
\]
segue:
\[
\| Au\|^2 \leq \frac{4}{\pi^2}\ \sum_{n=1}^\infty \ c_n^2 = \frac{4}{\pi^2}\ \| u\|^2
\]
che è la tesi.

Tra l'altro, noto che la disuguaglianza da provare è simile (nello spirito) alla disuguaglianza di Wirtinger:
\[
\| u\|_{L^2(a,b)} \leq \text{C}(a,b)\ \|u^\prime\|_{L^2(a,b)}\; ,
\]
ove \(\text{C}(a,b) := \frac{b-a}{\pi}\), valida per funzioni \(u\in W_0^{1,2}(a,b)\).

[robbstark1]

Grazie per la risposta.
Non capisco come mai, ma facevo un errore concettualmente grave nel calcolo della norma $||Au||$.

[gugo82]

Capita robb, non ti crucciare.

Anzi, grazie per l'esercizio... Era abbastanza divertente.