Esercizio monotonia (De Marco Analisi Uno: pag. 68, es. 16)

[dan931]

Buon giorno a tutti! Sono uno studente di ingegneria e ho deciso cominciare a studiare analisi matematica (da autodidatta) con un approccio più matematico. Per questo motivo sono alle prime armi e ho difficoltà su questo esercizio, che credo sia molto facile per quasi tutti quelli che leggono. Chiedo scusa per la banalità della cosa, ma spero che un giorno imparerò anche io . L'esercizio è il seguente [nota]$\mathbb{R}_+=\{x\in\mathbb{R}:x\ge 0\}$, lo stesso per $\mathbb{R}_-$.[/nota]

Sia $X\subseteq\mathbb{R}$ e sia $f:X\to\mathbb{R}$ una funzione dispari. Si supponga che $f|_{X\cap\mathbb{R}_+}:X\cap\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ sia crescente (risp. strettamente crescente). Provare che
(i) Anche $f|_{X\cap\mathbb{R}_-}$ è crescente.
(ii) Se $0\in X$, allora $f:X\to\mathbb{R}$ è crescente (risp. strettamente crescente).
(iii) Se $0\notin X$, allora la conclusione di (ii) può fallire.

Svolgimento. Riporto la mia parziale e probabilmente sbagliata soluzione.

(i) $f|_{X\cap\mathbb{R}_+}$ è crescente $\iff$ $x_1,x_2\in X\cap\mathbb{R}_+: x_1 \[
f(x_1)=-f(-x_1)=-f(y_2)\le-f(y_1)=-f(-x_2)=f(x_2) \iff f(y_1)\le f(y_2)
\]
da cui la conclusione (praticamente analogo il caso di $f$ strett. crescente).

(ii) Si ha che
$f|_{X\cap\mathbb{R}_-}$ crescente $\implies f(x_1)\le f(0)$ per ogni $x_1\in X\cap\mathbb{R}_-}$,
$f|_{X\cap\mathbb{R}_+}$ crescente $\implies f(0)\le f(x_2)$ per ogni $x_2\in X\cap\mathbb{R}_+$.
Allora $x_1
(iii) Ammesso che abbia un senso quello che ho fatto, non saprei come provare questo punto; se $0\notin X$, direi che $f(0)$ non è definita, e quindi mi inchiodo . E' qui che vorrei chedere aiuto

Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità, ciao

[Bremen000]

Con un contro esempio del tipo:

$ f(x) = \frac{x^2-1}{x} $

Mi pare che la iii) sia provata...

E il resto mi pare giusto.

[dan931]

Grazie mille dell'aiuto Bremen000