Esercizio moltiplicatori di lagrange

[nicola.cortese.7]

Testo esercizio : determinare i punti di estremo assoluto per $ f(x,y)=xy-y^2+3 $ sul vincolo g(x,y)=x+y^2=1

soluzione: per applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange devo verificare che
1) $ g(x,y) , f(x,y)€ C^1 $ verificata !
2) $ grad g≠0 $ verificata in quanto $ grad g=(1,2y)≠0 $
uso il metodo dei moltiplicatori di lagrange
$ { ( f_x=lambdag_x ),( f_y=lambdag_y ),( x+y^2=1):} $ cioè
$ { ( y=lambda ),( x-2y=2lambda y),( x+y^2=1):} $

Qui mi blocco poichè x mi esce uguale ad una equazione di secono grado in $ lambda $ .
ho provato anche utilizzando una parametrizzazione del vincolo per arrivare ad una funzione di una variabile ma non sono arrivato a nulla..
Qualcuno gentilmente mi può aiutare a finire l'esercizio ?

[donald_zeka]

Dalle ultime due equazioni ricavi x in funzione di $lamda$, e quindi le uguagli e risolvi una equazione di secondo grado in $lamda$

[christian951]

Allora: sostituendo lambda nella seconda e terza equazione otteniamo

$ { ( -2lambda^2-2lambda+x=0 ),( lambda^2-1+x=0 ):} $ => $ { ( y=lambda ),( x=1-lambda^2 ),( 3lambda^2+2lambda-1=0 ):} $ .

Trovi le soluzioni di lambda dalla terza che sono $ -1,1/3 $ e le sostituisci nella prima e seconda equazione,trovi quindi $ x=0,x=8/9,y=-1,y=1/3 $