Esercizio massimo e minimo su un dominio (2 variabili)
Devo trovare gli eventuali punti di massimo e minimo della funzione $ f(x,y)=(x^2+y^2)*e^x $ sul dominio $ A={(x,y)inR^2:x^2+y^2<=2} $ .
Il dominio rappresenta la parte di piano della circonferenza che ha come centro l'origine e raggio minore o uguale di $ sqrt2 $. Opero quindi la seguente parametrizzazione:
$ gamma={ ( x=sqrt2*cost ),( y=sqrt2*sent ):} $
con $ tin[0,2pi] $
Considero adesso la funzione $ h(t)=f(x(t),y(t))=2e^(sqrt2cost) $ .
$ h^{\prime}(t)=-2sqrt2sent*e^(sqrt2cost) $
Devo studiare il segno per trovare eventuali punti di massimo e minimo di questa funzione in una variabile. Dopo alcuni calcoli ho trovato che $ t=7/4pi $ è il punto di massimo e $ t=pi/4 $ è il punto di minimo (ho controllato anche su Wolfram, sono giusti).
Adesso, se ho capito bene, devo sostituire questi $ t $ nella parametrizzazione, ma così ottengo due punti $ P_1-= (1,-1) $ e $ P_2-= (1,1) $ che sostituiti nella $ f(x,y) $ danno praticamente lo stesso punto. È possibile??? Cosa ho sbagliato nel procedimento?
Grazie a chiunque risponda.
Il dominio rappresenta la parte di piano della circonferenza che ha come centro l'origine e raggio minore o uguale di $ sqrt2 $. Opero quindi la seguente parametrizzazione:
$ gamma={ ( x=sqrt2*cost ),( y=sqrt2*sent ):} $
con $ tin[0,2pi] $
Considero adesso la funzione $ h(t)=f(x(t),y(t))=2e^(sqrt2cost) $ .
$ h^{\prime}(t)=-2sqrt2sent*e^(sqrt2cost) $
Devo studiare il segno per trovare eventuali punti di massimo e minimo di questa funzione in una variabile. Dopo alcuni calcoli ho trovato che $ t=7/4pi $ è il punto di massimo e $ t=pi/4 $ è il punto di minimo (ho controllato anche su Wolfram, sono giusti).
Adesso, se ho capito bene, devo sostituire questi $ t $ nella parametrizzazione, ma così ottengo due punti $ P_1-= (1,-1) $ e $ P_2-= (1,1) $ che sostituiti nella $ f(x,y) $ danno praticamente lo stesso punto. È possibile??? Cosa ho sbagliato nel procedimento?
Grazie a chiunque risponda.
Risposte
"Trivroach":
Devo trovare gli eventuali punti di massimo e minimo della funzione $ f(x,y)=(x^2+y^2)*e^x $ sul dominio $ A={(x,y)inR^2:x^2+y^2<=2} $ .
Il dominio rappresenta la parte di piano della circonferenza che ha come centro l'origine e raggio minore o uguale di $ sqrt2 $. Opero quindi la seguente parametrizzazione:
$ gamma={ ( x=sqrt2*cost ),( y=sqrt2*sent ):} $
con $ tin[0,2pi] $
Considero adesso la funzione $ h(t)=f(x(t),y(t))=2e^(sqrt2cost) $ .
$ h^{\prime}(t)=-2sqrt2sent*e^(sqrt2cost) $
Devo studiare il segno per trovare eventuali punti di massimo e minimo di questa funzione in una variabile.
Devi trovare dove la derivata si annulla ! Ovvero $h' = 0$. L'esponenziale non si annulla mai, quindi il tutto si risolve a quando $\sen t = 0 $, ovvero ${0,\pi}$.
Dopo alcuni calcoli ho trovato che $ t=7/4pi $ è il punto di massimo e $ t=pi/4 $ è il punto di minimo (ho controllato anche su Wolfram, sono giusti).
In che senso sono giusti ?
Adesso, se ho capito bene, devo sostituire questi $ t $ nella parametrizzazione, ma così ottengo due punti $ P_1-= (1,-1) $ e $ P_2-= (1,1) $ che sostituiti nella $ f(x,y) $ danno praticamente lo stesso punto. È possibile??? Cosa ho sbagliato nel procedimento?
Grazie a chiunque risponda.
Ricominciamo da capo.
Hai una superficie dotata di bordo.
Ergo, gli estremi si trovano o sulla superficie interna, o sul bordo.
Prima vedi se ci sono degli estremi sulla superficie, ovvero calcoli il gradiente, vedi quando si annulla, e valuti se i punti trovati sono interni o esterni al bordo.
Se sono esterni, li getti via.
Se non trovi nessun estremo, o trovi solo il max o solo il min, allora quello che manca lo vai a cercare sul bordo, usando il procedimento che hai postato nella tua soluzione (dopo averlo riveduto e corretto).
Se gia' dentro alla superficie trovi il max e il min, potrebbero comunque essercene altri sul bordo, quindi comunque va fatta una analisi del bordo.
Mi sono reso conto di star facendo una cosa per un'altra. Grazie
Allora ricapitolando:
Trovo i punti di massimo e minimo sulla superficie con il classico metodo dell'annullamento del gradiente. Senza riportare tutti i calcoli, trovo che $ P_1-= (0,0) $ è un punto di minimo sulla superficie. Ho trovato anche che $ P_2-= (-2,0) $ è un punto di sella ma non ci interessa.
Adesso sfrutto la parametrizzazione $ gamma={ ( x=sqrt2cost ),( y=sqrt2sent ):} $ con $ tin[0,2pi] $ .
$ h(t)=2e^(sqrt2cost)->h^{\prime}(t)=-2sqrt2sent*e^(sqrt2cost) $ .
$ h^{\prime}(t)=0 $ per $ t=0 $ e $ t=pi $ da cui ricavo i punti $ M-= (sqrt2,0) $ e $ N-= (-sqrt2,0) $ . Il primo è evidentemente un punto di massimo, il secondo di minimo.
Vado a sostituire nella funzione e trovo un punto di massimo sul bordo e di minimo sul bordo, rispettivamente $ f(M)=2e^sqrt2 $ e $ f(N)=2e^-sqrt2 $ .
Va bene? Ti ringrazio ancora
Trovo i punti di massimo e minimo sulla superficie con il classico metodo dell'annullamento del gradiente. Senza riportare tutti i calcoli, trovo che $ P_1-= (0,0) $ è un punto di minimo sulla superficie. Ho trovato anche che $ P_2-= (-2,0) $ è un punto di sella ma non ci interessa.
Adesso sfrutto la parametrizzazione $ gamma={ ( x=sqrt2cost ),( y=sqrt2sent ):} $ con $ tin[0,2pi] $ .
$ h(t)=2e^(sqrt2cost)->h^{\prime}(t)=-2sqrt2sent*e^(sqrt2cost) $ .
$ h^{\prime}(t)=0 $ per $ t=0 $ e $ t=pi $ da cui ricavo i punti $ M-= (sqrt2,0) $ e $ N-= (-sqrt2,0) $ . Il primo è evidentemente un punto di massimo, il secondo di minimo.
Vado a sostituire nella funzione e trovo un punto di massimo sul bordo e di minimo sul bordo, rispettivamente $ f(M)=2e^sqrt2 $ e $ f(N)=2e^-sqrt2 $ .
Va bene? Ti ringrazio ancora
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