Esercizio massimo e minimo in due variabili

[scofield1]

1. Data $f(x,y)=(x^2 + y^2)^2 + xy$, studiare i punti stazionri di $f$ nel piano

Calcolo le derivate parziali:

$(delf(x,y))/(delx)=4x^3+4xy^2+y$

$(delf(x,y))/(dely)=4y^3+4x^2y+x$

Le pongo uguali a zero e ottengo se non sbaglio qualche passaggio:

$y=-4x(x^2+y^2)$

Che sostituito nella seconda otteniamo:

$x(-16(x^2+y^2)^2+1)=0$

Con soluzioni:

$x=0$ e $y=0$
$x^2+y^2=1/4$ e $y+x=0$

Che messe a sistema mi restituiscono:

$x^2=y^2=1/8 \rightarrow (y=-x)$

Ora è giusto affermare che le coppie di punti stazionari saranno:

$(1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2))) (-1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2))) (0 ; 0)$

Calcoliamo le derivate seconde:

$(del^2f(x,y))/(delx^2)= 12x^2 + 4y^2

$(del^2f(x,y))/(dely^2)= 4x^2+12y^2

$(del^2f(x,y))/(delxdely)= 8xy + 1

$Hf(x,y)= ((12x^2 + 4y^2,8xy + 1),(8xy + 1,4x^2+12y^2))$

Ora $Hf(0,0) = ((0,1),(1,0))$ con $|(0,1),(1,0)|<0$ quindi è un punto di SELLA!

$Hf(1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2))) = Hf(-1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2))) = ((2,0),(0,2))$ con $|(2,0),(0,2)| = 4>0$ e primo autovalore $>0$ quindi sarà un punto di MINIMO

2. Trovare i punti di massimo e minimo di $f$ nel cerchio $C={(x,y) : x^2+y^2<=1}

Parametrizzo il cerchio:

$x=cos(t)$
$y=sen(t)$

$g(t)= (cos^2(t)+sen^2(t))^2+sen(t)cos(t)$

$g'(t)=cos^2(t)-sen^2(t)=0$ $\rightarrow$ $sen^2(t)=cos^2(t)$$\rightarrow$ $sen(t)=+-cos(t)$ $\rightarrow$ $t=+-\pi/4$ $t=+-5\pi/4$

Che restituisce le seguenti coppie di valori:

$(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) ; (-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) ; (sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) ; (-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$

Ora inserisco le coppie di valori nella funzione per determinare i massimi e minimi assoluti:

$f(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)=3/2$ MAX ASSOLUTO

$f(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)=3/2$ MAX ASSOLUTO

$f(0,0)=0$

$f(1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2)))=-1/16$ MIN ASSOLUTO

$f(-1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2)))= -1/16$ MIN ASSOLUTO

$f(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) = 1/2

$f(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) = 1/2

Grazie dell'attenzione!

[pater46]

Guarda ma sottraendo membro a membro otteniamo:

$ 4(x-y)[x^2+y^2] - (x-y) = (x-y)[4x^2+4y^2-1]= 0$

Quindi oltre alla CIRCONFERENZA che abbiamo trovato, ci centro origine e raggio 1/2, anche la bisettrice primo-terzo quadrante annulla il sistema.

[scofield1]

Come rappresento in coppie di punti da inserire nell'Hessiana $x-y=0$ e la circonferenza $x^2 + y^2 = 1/4$?

[scofield1]

Scusate il post doppio ma avrei proprio bisogno di capire. Ponendo:

$\{(x-y=0),(x^2 + y^2 - 1/4=0):}$

ottengo queste coppie di valori:

$(1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2))) (-1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2)))$

Sono solo questi i punti stazionari oppure devo considerare anche quando si annullano uno per volta?

[scofield1]

Perdonate l'insistenza e la serie di post consecutivi ma avrei bisogno di qualche buona anima che mi possa dare una mano..

[Hyper71]

Avrei bisogno anche io della soluzione

[adaBTTLS1]

non so che metodo tu abbia usato per risolvere il sistema, io ho provato a fare un po' di manipolazione algebrica ed ho ottenuto in un caso $x+y=0$, per cui $(0,0)$ coincide con la tua soluzione, ma le altre due no, nel senso che cambiano i segni (dove la x è positiva la y è negativa e viceversa).
spero di essere stata utile. prova e facci sapere. ciao.

[adaBTTLS1]

vedo che hai modificato il primo post (in realtà era già stato modificato, ma non ero stata io molto attenta all'intero messaggio).
non hai trovato $(0,0)$ come soluzione, ma è banalmente verificato il sistema per $x=y=0$.
inoltre le derivate seconde sono sbagliate. ricontrolla.

[scofield1]

Ho modificato le derivate seconde. Certamente il sistema si annulla in $(0;0)$ e lo posso vedere ad occhio! Però se provo a fare dei passaggi algebrici per arrivarci non ne esco!
Quali passaggi hai svolto per impostare il sistema? Non vorrei rubarti troppo tempo e approfittare della tua gentilezza!

[adaBTTLS1]

ho ricavato y dalla prima e sostituito nella seconda, lasciando invariato $(x^2+y^2)$, e poi ho raccolto la x:

${[y=-4x(x^2+y^2)],[-4*4x(x^2+y^2)^2+x=0] :} -> [(x=0)vv((x^2+y^2)^2=1/16)]$
da $x=0$ ricavo $y=0$
da $(x^2+y^2)^2=1/16 -> x^2+y^2=1/4$, con $x != 0$, ricavo $x+y=0$ che, a sistema con $x^2+y^2=1/4$, dà $x^2=y^2=1/8$, però con $y=-x$.

spero di essere stata chiara. prova e facci sapere. ciao.

[scofield1]

Bene ho corretto l'esercizio e l'ho ultimato! Spero a questo punto di aver fatto bene. Potresti dare una controllata e dirmi quello che pensi? Ti ringrazio immensamente per la disponibilità!

[adaBTTLS1]

prego. ho trovato un errore nelle parentesi, per cui riporto il post e cerco di correggere da lì, lasciando i passi principali:

"scofield":1. Data $f(x,y)=(x^2 + y^2)^2 + xy$, studiare i punti stazionri di $f$ nel piano

Calcolo le derivate parziali:

$(delf(x,y))/(delx)=4x(x^2 + y^2)+y$

$(delf(x,y))/(dely)=4y(x^2 + y^2)+x$

Le pongo uguali a zero e ottengo se non sbaglio qualche passaggio:

$y=-4x(x^2+y^2)$

Che sostituito nella seconda otteniamo:

$x(-16(x^2+y^2)^2+1)=0$
se hai raccolto la x, lasciando 1 al posto di x, la parentesi va chiusa alla fine.

Con soluzioni:

$x=0$ e $y=0$
$x^2+y^2=1/4$ e $y+x=0$

Che messe a sistema mi restituiscono:

$x^2=y^2=1/8 \rightarrow (y=-x)$

Ora è giusto affermare che le coppie di punti stazionari saranno:

$(1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2))) (-1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2))) (0 ; 0)$

Calcoliamo le derivate seconde:
ti conviene prima svolgere i calcoli sulle derivate parziali prime: i calcoli sulle derivate seconde vengono più semplici, e comunque anche dopo il calcolo delle derivate seconde come hai fatto, non conviene lasciare così, ma svolgere qualche semplice calcolo algebrico.

$(del^2f(x,y))/(delx^2)= 8x^2 + 4(x^2 + y^2)=12x^2+4y^2$

$(del^2f(x,y))/(dely^2)= 8y^2 + 4(x^2 + y^2)=4x^2+12y^2$

$(del^2f(x,y))/(delxdely)= 8xy + 1$

$Hf(x,y)= ((12x^2 + 4 y^2,8xy + 1),(8xy + 1,4x^2 + 12y^2))$

Ora $Hf(0,0) = ((0,1),(1,0))$ con $|(0,1),(1,0)|<0$ quindi è un punto di SELLA!
perché? se non ricordo male, dovrebbe essere un massimo

$Hf(1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2))) = Hf(-1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2))) = ((2,0),(0,2))$ con $|(2,0),(0,2)| = 4>0$ e primo autovalore $>0$ quindi sarà un punto di MINIMO

2. Trovare i punti di massimo e minimo di $f$ nel cerchio $C={(x,y) : x^2+y^2<=1}

Parametrizzo il cerchio [la circonferenza?]:

$x=cos(t)$
$y=sen(t)$

$g(t)= (cos^2(t)+sen^2(t))^2+sen(t)cos(t)$

$g'(t)=cos^2(t)-sen^2(t)$ $[g'(t)=0 \rightarrow$ $sen(t)=+-cos(t)$ $\rightarrow$ $t=\+-pi/4$ $t=+-5\pi/4$
parti da un'equazione di secondo grado...! devi dunque aggiungere gli altri due valori

Che restituisce le seguenti coppie di valori:

$(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) ; (-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)$

Ora inserisco le coppie di valori nella funzione per determinare i massimi e minimi assoluti:

$f(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)=3/2$ MAX ASSOLUTO

$f(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)=3/2$ MAX ASSOLUTO

$f(0,0)=0$

$f(1/(2sqrt(2)) ; -1/(2sqrt(2)))=-1/16$ MIN ASSOLUTO

$f(-1/(2sqrt(2)) ; 1/(2sqrt(2)))= -1/16$ MIN ASSOLUTO

Grazie dell'attenzione!

l'ultima parte (incompleta) non l'ho ricontrollata. completala e rivedila.
tieni conto che i valori trovati nella prima parte dell'esercizio sono interni al cerchio.

non hai provato a fare diversamente, senza questa parametrizzazione?
io proverei a sostituire nel testo l'equazione della circonferenza, ottenendo: $f(x,y)=xy+1$ ...
spero di essere stata d'aiuto in questa revisione. facci sapere come va. ciao.

[scofield1]

Ho corretto l'esercizio fino a quando dico che è un punto di sella. Io cercando in internet sono arrivato su wikipedia (non so quanto sia affidabile) e mi dice questo: Nel caso di funzioni di due variabili, per verificare se il punto è di massimo o minimo si guarda il segno del determinante della matrice Hessiana e il primo termine della matrice: se il primo elemento della matrice è positivo e il determinante è anch'esso positivo (matrice definita positiva) si ha un minimo locale se invece il primo termine è negativo e il determinante è sempre positivo allora si ha un massimo locale. Qualora il determinante della matrice Hessiana sia negativo, allora il punto si dice punto di sella. Non dà informazioni sui punti critici il caso di determinante Hessiano nullo.

Cosa ne pensi?

"adaBTTLS":prego. ho trovato un errore nelle parentesi, per cui riporto il post e cerco di correggere da lì, lasciando i passi principali:
[quote="scofield"]1. Data $f(x,y)=(x^2 + y^2)^2 + xy$, studiare i punti stazionri di $f$ nel piano

Parametrizzo il cerchio [la circonferenza?]:

$x=cos(t)$
$y=sen(t)$

$g(t)= (cos^2(t)+sen^2(t))^2+sen(t)cos(t)$

$g'(t)=cos^2(t)-sen^2(t)$ $[g'(t)=0 \rightarrow$ $sen(t)=+-cos(t)$ $\rightarrow$ $t=\+-pi/4$ $t=+-5\pi/4$
parti da un'equazione di secondo grado...! devi dunque aggiungere gli altri due valori

Che restituisce le seguenti coppie di valori:

$(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) ; (-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)$

[/quote]

Quindi oltre a $(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) ; (-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2)$ devo aggiungere $(sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) ; (-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$ ? è corretto?

[adaBTTLS1]

sulla domanda specifica di aggiungere gli altri due punti, sì.
sulla discussione max-min con la matrice hessiana, ti consiglio di controllare qualche altra fonte. (io è una vita che non non le incontro quasi più, però ...)