Esercizio massimo e minimo funzione due variabili
Ciao,
Sapete dirmi se è corretto lo svolgimento dell'esercizio: Determinare il massimo e il minimo della funzione $f(x,y)=x-y+xy$ nel triangolo $T$ avente i vertici nei punti $A(2,0),B(0,2),C(0,-2)$.
L'ho svolto così:
Prima ho analizzato i punti all'interno del triangolo con il metodo gradiente-hessiano.
$ { ( f_x: 1+y=0 ),( f_y:-1+x=0 ):} $
Punto critico: $(1,-1)$. Calcolo l'Hessiano: $ H(x,y)=( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) )=-1 $ che è negativo, quindi in $(1,-1)$ ho un punto di sella.
Dopo di che analizzo sui lati del triangolo, che equivalgono al dominio $ T:{(x,y)inRR^2: 0<=x<=2, x-2<=y<=2-x} $
Lati $ T_1: bar(BC),T_2:bar(BA),T_3:bar(AC) $
$T_1 ) :$ $ f(0,y)= -y $
$ f' = -1 $ su questo lato non ci sono punti di max o min
$T_2 ):$ $ f(x,2-x): -x^2 +4x -2 $
$ f':4-2x -> x=2 -> y=0$
su questo lato nel punto $(2,0)$ la funzione vale $2$
$T_3 ):$ $ f(x,x-2): x^2 -2x +2 $
$ f':2x-2 -> x=1 ->y=-1 $
Ricapitolando ho trovato che nel punto $(1,-1)$ c'è un punto di sella. Ora come faccio a capire se il punto $(2,0)$ è di massimo o di minimo assoluto???
Sapete dirmi se è corretto lo svolgimento dell'esercizio: Determinare il massimo e il minimo della funzione $f(x,y)=x-y+xy$ nel triangolo $T$ avente i vertici nei punti $A(2,0),B(0,2),C(0,-2)$.
L'ho svolto così:
Prima ho analizzato i punti all'interno del triangolo con il metodo gradiente-hessiano.
$ { ( f_x: 1+y=0 ),( f_y:-1+x=0 ):} $
Punto critico: $(1,-1)$. Calcolo l'Hessiano: $ H(x,y)=( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) )=-1 $ che è negativo, quindi in $(1,-1)$ ho un punto di sella.
Dopo di che analizzo sui lati del triangolo, che equivalgono al dominio $ T:{(x,y)inRR^2: 0<=x<=2, x-2<=y<=2-x} $
Lati $ T_1: bar(BC),T_2:bar(BA),T_3:bar(AC) $
$T_1 ) :$ $ f(0,y)= -y $
$ f' = -1 $ su questo lato non ci sono punti di max o min
$T_2 ):$ $ f(x,2-x): -x^2 +4x -2 $
$ f':4-2x -> x=2 -> y=0$
su questo lato nel punto $(2,0)$ la funzione vale $2$
$T_3 ):$ $ f(x,x-2): x^2 -2x +2 $
$ f':2x-2 -> x=1 ->y=-1 $
Ricapitolando ho trovato che nel punto $(1,-1)$ c'è un punto di sella. Ora come faccio a capire se il punto $(2,0)$ è di massimo o di minimo assoluto???
Risposte
Il punto $(1,-1)$ si trova sul bordo, pertanto non puoi considerarlo come punto interno (ergo lo studio dell'Hessiana è inutile). Per quanto riguarda il bordo, devi analizzare le tre funzioni e determinarne l'andamento, in modo da capire cosa succede quando passi da un lato del triangolo all'altro. Attento ad una cosa: quando scrivi l'espressione della funzione su un lato, conviene parametrizzare piuttosto che sostituire $y$ in funzione di $x$. Inoltre le parametrizzazioni si fanno in modo che il punto finale di un ramo sia quello iniziale del successivo, mentre tu fai un pastrocchio: la scelta giusta sarebbe stata prendere i lati come $BC,\ CA,\ AB$ in questo ordine. Si ha
$T_1=BC: x=0,\ y=-2t,\ t\in[-1,1]$, $T_2=CA: x=t,\ y=t-2,\ t\in[0,2]$, $T_3=AB: x=2-t,\ y=t,\ t\in[0,2]$.
Prova così.
$T_1=BC: x=0,\ y=-2t,\ t\in[-1,1]$, $T_2=CA: x=t,\ y=t-2,\ t\in[0,2]$, $T_3=AB: x=2-t,\ y=t,\ t\in[0,2]$.
Prova così.
Allora facendo come tu mi hai suggerito mi esce sul lato
$T_1:$ $f(0,-2)=2$ e $f(0,2)=-2$ sugli estremi del lato (l'unica cosa che tu su $T_1$ hai messo $y=-2t, t in [-1,1]$, io invece seguendo la traccia ho fatto $y=-t, t in [-2,2]$ che credo dia lo stesso risultato )
sul lato $T_2:$ $f(1,-1)= 3$ nella parte centrale del lato, $f(0,-2)=2$ e $f(2,0)=2$ negli estremi del lato
sul lato $T_3:$ $f(2,0)=2$ nella parte centrale del lato, $f(0,2)=-2$ e $f(2,0)=2$ negli estremi del lato.
Fatto bene? Ora vedendo quello più piccolo sarà il minimo assoluto e vedendo quello più grande sarà il massimo assoluto, però considerando lato per lato come faccio a dire qual'è il min e qual'è il max?? Ad esempio su $T_2$ una volta trovati i tre punti come faccio a sapere qual'è il minimo e qual'è il max???
$T_1:$ $f(0,-2)=2$ e $f(0,2)=-2$ sugli estremi del lato (l'unica cosa che tu su $T_1$ hai messo $y=-2t, t in [-1,1]$, io invece seguendo la traccia ho fatto $y=-t, t in [-2,2]$ che credo dia lo stesso risultato )
sul lato $T_2:$ $f(1,-1)= 3$ nella parte centrale del lato, $f(0,-2)=2$ e $f(2,0)=2$ negli estremi del lato
sul lato $T_3:$ $f(2,0)=2$ nella parte centrale del lato, $f(0,2)=-2$ e $f(2,0)=2$ negli estremi del lato.
Fatto bene? Ora vedendo quello più piccolo sarà il minimo assoluto e vedendo quello più grande sarà il massimo assoluto, però considerando lato per lato come faccio a dire qual'è il min e qual'è il max?? Ad esempio su $T_2$ una volta trovati i tre punti come faccio a sapere qual'è il minimo e qual'è il max???
Dunque:
su $T_1$ si ha $f_1(t)=t$ che risulta crescente
su $T_2$ si ha $f_2(t)=2+t(t-2)$ e si ha $f'_2(t)=2t-2$ per cui decresce su $[0,1]$ e cresce su $[1,2]$
su $T_3$ si ha $f_3(t)=2-2t+t(2-t)$ e si ha $f_3'(t)=-2t$ che è sempre decresente.
Pertanto, partendo dal punto $b$ e seguendo il percorso $B\to C\to A\to B$
$f$ cresce dal punto $B$ al punto $C$, poi decresce da $C$ a $(1,1)$ (per $t=1$), quindi cresce da $(1,1)$ fino ad $A$ e di nuovo decresce da $A$ fino a $B$.
ne segue che $B$ è un minimo, $C$ un massimo, $(1,1)$ un altro minimo, $A$ un massimo.
Per determinare se siano relativi ed assoluti basta sostituire i valori.
su $T_1$ si ha $f_1(t)=t$ che risulta crescente
su $T_2$ si ha $f_2(t)=2+t(t-2)$ e si ha $f'_2(t)=2t-2$ per cui decresce su $[0,1]$ e cresce su $[1,2]$
su $T_3$ si ha $f_3(t)=2-2t+t(2-t)$ e si ha $f_3'(t)=-2t$ che è sempre decresente.
Pertanto, partendo dal punto $b$ e seguendo il percorso $B\to C\to A\to B$
$f$ cresce dal punto $B$ al punto $C$, poi decresce da $C$ a $(1,1)$ (per $t=1$), quindi cresce da $(1,1)$ fino ad $A$ e di nuovo decresce da $A$ fino a $B$.
ne segue che $B$ è un minimo, $C$ un massimo, $(1,1)$ un altro minimo, $A$ un massimo.
Per determinare se siano relativi ed assoluti basta sostituire i valori.
Come fa ad uscire su $T_1$ $f_1 (t)=t$ ??? non dovrebbe essere $f_1 (t)=-t$ da cui si fa la derivata prima che esce $f':-1$ ???
sul terzo lato invece tu hai posto $y=t$ e poi hai trovato $x$ in funzione di quest'ultimo, quindi con la $t$ che variava tra $(0,2)$, intervallo in cui variava $y$...io mi chiedo, se invece pongo $x=t$ e poi trovo $y$ in funzione di quest'ultimo non è la stessa cosa???
sul terzo lato invece tu hai posto $y=t$ e poi hai trovato $x$ in funzione di quest'ultimo, quindi con la $t$ che variava tra $(0,2)$, intervallo in cui variava $y$...io mi chiedo, se invece pongo $x=t$ e poi trovo $y$ in funzione di quest'ultimo non è la stessa cosa???
Su $T_1$ $x=0, y=-t$ (lo hai scritto anche tu) pertanto $f_1(t)=0-(-t)+0\cdot(-t)=t$.
Per il terzo lato: sì, è lo stesso, ma viene una rottura scegliere $t$ in modo adeguato, cioè con $t$ che cresca passando dal punto $A$ al punto $B$. Ho fatto così solo per comodità.
Per il terzo lato: sì, è lo stesso, ma viene una rottura scegliere $t$ in modo adeguato, cioè con $t$ che cresca passando dal punto $A$ al punto $B$. Ho fatto così solo per comodità.
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