Esercizio massimi e minimi vincolati

[Anacleto13]

Buonasera,

Su $A={(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0}$ è definita $f:A\to\mathbb{R}$ da $f(x,y)=-lnx-\frac{y^2+4xy+4}{4y}$. Determinare eventuali punti di max, min di $f_S$ ove $S$ è il segmento di estremi $(1/2,3/2)$ e $(3/2,1/2)$

Svolgimento:

Ho scritto la retta passante per i due punti, che risulta essere $y=-x+2$ con $1/2\leqx\leq3/2$ e ho calcolato la derivata prima di $f(x,-x+2)$ per studiarne i punti di max/min, la derivata prima è:

\[
\frac{df_S}{dx}=\frac{-5x^3+16x^2-8x-16}{4x(-x+2)^2}
\]

Qui sono fermo, qualche aiuto?

[Bokonon]

La funzione è scritta male.

[Anacleto13]

"Bokonon":La funzione è scritta male.

Pardon.. corretta

[Bokonon]

Stando alla funzione corretta c'è un errore:
\[
\frac{df_S}{dx}=\frac{5x^3-24x^2+40x-16}{4x(-x+2)^2}
\]
Però non cambia la sostanza. Ha una sola radice reale e si trova nell'intervallo ma solo sfruttando metodi numerici...o con wolfram
Forse l'esercizio è sbagliato?

[Anacleto13]

"Bokonon":Stando alla funzione corretta c'è un errore:
\[
\frac{df_S}{dx}=\frac{5x^3-24x^2+40x-16}{4x(-x+2)^2}
\]
Però non cambia la sostanza. Ha una sola radice reale e si trova nell'intervallo ma solo sfruttando metodi numerici...o con wolfram
Forse l'esercizio è sbagliato?

Può darsi, non sarebbe la prima volta.

[gugo82]

"Bokonon":Stando alla funzione corretta c'è un errore:
\[
\frac{df_S}{dx}=\frac{5x^3-24x^2+40x-16}{4x(-x+2)^2}
\]
Però non cambia la sostanza. Ha una sola radice reale e si trova nell'intervallo ma solo sfruttando metodi numerici...o con wolfram

Nell’intervallo considerato il denominatore è positivo, dunque il segno della derivata dipende dal numeratore.
Allora sia $phi (x) := 5x^3 - 24 x^2 + 40 x - 16$, di modo che $phi’ (x) = 15 x^2 - 48 x + 40$; $phi’ (x) >= 0$ ovunque (perché $Delta/4 < 0$) di modo che $phi$ è strettamente crescente in $[1/2, 3/2]$; visto che $phi(1/2) < 0 < phi(1)$, la $f_S’$ si annulla in un unico punto appartenente a $]1/2, 1[$, chiamiamolo $xi$, è positiva in $]xi, 3/2[$ e negativa in $]1/2, xi[$. Ne viene che $f_S$ è strettamente decrescente in $[1/2, xi]$ e strettamente crescente in $[xi, 3/2]$, ha minimo assoluto in $xi$ e massimo assoluto in $1/2$ oppure in $3/2$ (per saperlo occorre fare il calcolo).