Esercizio massimi e minimi, funzione di più variabili
Ciao ragazzi,sono nuova..volevo chiedervi la risoluzione di questo esercizio:
Si determinino i punti stazionari per la funzione $f:RR^3 \to RR$ definita da
$f (x, y, z) = x^2 + y^2 + 2xy + 4z$
vincolati alla sottovarietà
$M = {(x, y, z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 }$
Si dimostri che la funzione $f$ possiede punti di massimo e minimo assoluto su $M$ e individuarli.
Io l'ho risolto così:
$M$ chiuso e limitato $\to$ compatto $\to$ Weierstrass $\to$ $f$ ammette massimo e minimo assoluto su $M$
Utilizzando Lagrange:
La Lagrangiana associata a $f$:
$L (x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + 2xy + 4z + \lambda ( x^2 + y^2 + z^2 - 3)$
$(delL)/(delx) = 2(x + y + \lambdax)$
$(delL)/(dely) = 2(y + x + \lambday)$
$(delL)/(delz) = 2(2 + \lambdaz)$
$(delL)/(del\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - 3$
Quindi imposto il sistema:
$\{(2(x + y + \lambdax) = 0),(2(y + x + \lambday) = 0),(2(2 + \lambdaz) = 0),(x^2 + y^2 + Z^2 - 3 = 0):}$
Dal sistema ottengo:
A $(0,0, +sqrt{3}, - 2/\sqrt{3})$
B $(0,0, -sqrt{3}, + 2/\sqrt{3})$
C,D $(\pm1, \pm1, 1, -2)$
Quindi i punti stazionari di $f$ vincolati a $M$ sono:
A $(0, 0, \sqrt{3})$
B $(0, 0, -\sqrt{3})$
C $(1, 1, 1)$
D $(-1, -1, 1)$
Da cui:
$f(A) = 4\sqrt{3}$
$f(B) = -4\sqrt{3}$
$f(C) = 8$
$f(D) = 8$
Quindi i punti C e D sono di MASSIMO ASSOLUTO ed il punto B è di MINIMO ASSOLUTO
Va bene?? Grazie mille!!!
Si determinino i punti stazionari per la funzione $f:RR^3 \to RR$ definita da
$f (x, y, z) = x^2 + y^2 + 2xy + 4z$
vincolati alla sottovarietà
$M = {(x, y, z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 }$
Si dimostri che la funzione $f$ possiede punti di massimo e minimo assoluto su $M$ e individuarli.
Io l'ho risolto così:
$M$ chiuso e limitato $\to$ compatto $\to$ Weierstrass $\to$ $f$ ammette massimo e minimo assoluto su $M$
Utilizzando Lagrange:
La Lagrangiana associata a $f$:
$L (x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + 2xy + 4z + \lambda ( x^2 + y^2 + z^2 - 3)$
$(delL)/(delx) = 2(x + y + \lambdax)$
$(delL)/(dely) = 2(y + x + \lambday)$
$(delL)/(delz) = 2(2 + \lambdaz)$
$(delL)/(del\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - 3$
Quindi imposto il sistema:
$\{(2(x + y + \lambdax) = 0),(2(y + x + \lambday) = 0),(2(2 + \lambdaz) = 0),(x^2 + y^2 + Z^2 - 3 = 0):}$
Dal sistema ottengo:
A $(0,0, +sqrt{3}, - 2/\sqrt{3})$
B $(0,0, -sqrt{3}, + 2/\sqrt{3})$
C,D $(\pm1, \pm1, 1, -2)$
Quindi i punti stazionari di $f$ vincolati a $M$ sono:
A $(0, 0, \sqrt{3})$
B $(0, 0, -\sqrt{3})$
C $(1, 1, 1)$
D $(-1, -1, 1)$
Da cui:
$f(A) = 4\sqrt{3}$
$f(B) = -4\sqrt{3}$
$f(C) = 8$
$f(D) = 8$
Quindi i punti C e D sono di MASSIMO ASSOLUTO ed il punto B è di MINIMO ASSOLUTO
Va bene?? Grazie mille!!!
Risposte
Come da regolamento, dovresti prima dire quali tentativi hai fatto e dove hai trovato difficoltà.
Ok, ho postato la mia risoluzione..
1) è corretto determinare i punti stazionari con Lagrange?
2) Una volta trovati i punti stazionari ho determinato correttamente i punti di massimo e minimo assoluto?
Grazie mille e scusate se ho detto qualche stupidata!!!
1) è corretto determinare i punti stazionari con Lagrange?
2) Una volta trovati i punti stazionari ho determinato correttamente i punti di massimo e minimo assoluto?
Grazie mille e scusate se ho detto qualche stupidata!!!
Mi pare che vada tutto bene. Però evita di indicare le soluzioni incluse del moltiplicatore con i nomi dei punti, visto che sono cose diverse. In ogni caso, direi che il punto $A$ è di massimo relativo.
Grazie mille!!
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