Esercizio Massimi e Minimi Assoluti non banale (Due variabili)

[Dave951]

Buongiorno a tutti, svolgendo il foglio di esercizi per il tutorato mi sono imbattuto (pochi giorni fa) in questo esercizio:
Trovare se esistono massimi e minimi assoluti della seguente funzione sull' insieme indicato:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)+y^2$ $B={(x,y)\inR^2| x^2+y^2<=1} $

Ho provato a chiedere(ieri) al mio tutore di Analisi Due ma nonostante tutto anche lui ha avuto seri problemi nello svolgimento.

Ora chiedo aiuto a Voi!

Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno!

[Studente Anonimo]

Sulla frontiera $[f(+-sqrt(1-y^2),y)=y^2+1] ^^ [-1 lt= y lt= 1]$. Insomma, non si comprende quale sia il problema. Anche perchè gli estremi assoluti, per considerazioni piuttosto elementari, non possono essere assunti all'interno.

[dissonance]

Puoi anche passare in coordinate polari mediante le formule
\[
\begin{cases}
x=r\cos\phi \\ y=r\sin \phi\end{cases}\]
e
\[
f(x,y)=g(r, \phi)=r+r^2\sin^2\phi.\]
In questo sistema di coordinate devi trovare massimi e minimi di \(g\) sull'insieme
\[
B=\{ (r, \phi)\ :\ 0\le r\le 1,\ -\pi\le \phi\le \pi\},\]
tenendo presente che \(r=0\) è una singolarità del sistema di coordinate e va studiato a parte. (Infatti, per \(r=0\) trovi il minimo assoluto).

I conti sono un poco più semplici rispetto alle coordinate cartesiane, e inoltre si capisce a occhio che il massimo si ottiene quando \(\sin^2\phi\) è massimo, e questo avviene per \(\phi=\pm\frac\pi 2\).

In ogni caso, se il passaggio a coordinate polari ti confonde, non lo fare e ragiona direttamente in coordinate cartesiane come dice Sergeant Elias.

P.S.:

massimi e minimi non possono essere assunti all'interno

Non è proprio vero, infatti il minimo assoluto è in \((x, y)=(0,0)\), che è un punto singolare perché lì la funzione non è differenziabile.

[Studente Anonimo]

"dissonance":
Non è proprio vero ...

Hai ragione da vendere, è assolutamente falso. Non so perché, ma mi ero concentrato solo sui massimi assoluti. Grazie per la correzione e per avermelo fatto notare.