Esercizio massima e minima pendenza gradiente

[ludwigZero]

Salve
Sto trovando stranamente qualche problema con questo esercizio:

''assegnata la funzione $f(x,y) = \alpha log(1+ xy)$ con $\alpha$ numero naturale.
determinare le direzioni di max e min pendenza di f nel punto di coordinate $(1,2)$
per quali valori di $\alpha$ tali direzioni sono ortogonali al vettore $(1,-2)$?



primo passo: trovo le coordinate del gradiente, ovvero le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$:

$f_x = \alpha y/(1+xy)$

$f_y = \alpha x/(1+xy)$

le calcolo in $(1,2)$ (sperando di non aver sbagliato sti calcoli elementari si ha:)


$f_x = (2/3) \alpha $

$f_y = \alpha/3$

direzione di max pendenza: (la minima è l'opposta...)

$w = 1/|grad f(1,2)| * ((2/3) \alpha , \alpha/3) = 1/sqrt(((2/3) \alpha)^2 +(\alpha/3)^2) *((2/3) \alpha , \alpha/3)$

a questo punto la direzione di max pendenza NON dipende più da $\alpha$ *_* cos è che sbaglio? Perchè la domanda successiva richiede che, data la condizione di perpendicolarità, mi trovo $\alpha$ giusto?

[Quinzio]

Ok, quindi $\alpha$ può essere qualsiasi reale (tranne zero).

[ludwigZero]

ah dunque, dal momento che si semplifica, posso già dire che vale per qualsiasi reale senza fare alcun conto.
se invece avrei dovuto farlo, il conto per trovarmi $\alpha$, avrei dovuto scrivere la matrice 2 x 2 e porre il determinante uguale a 0?