Esercizio linee di livello
Scusate forse la banalità della domanda ma non riesco a venire a capo di questo esercizio:
Es: Le linee di livello della funzione $ z=f(x-vt) $ , $ vin RR $ , formano una famiglia di....( e qui vengono date delle opzioni)
Per calcolare le linee di livello (se non ho capito male) devo fare uno studio di funzione ( a meno di semplici casi) ponendo $ z=f(x-tv)=c $ ma come faccio a studiare tale funzione se non so l'andamento di $ f(x-tv) $ ??
Sono presenti anche le soluzioni viene semplicemente detto: Sono rette di equazione $ x-vt=k $ (costante); senza considerare la $ f $.
Grazie in anticipo.
Es: Le linee di livello della funzione $ z=f(x-vt) $ , $ vin RR $ , formano una famiglia di....( e qui vengono date delle opzioni)
Per calcolare le linee di livello (se non ho capito male) devo fare uno studio di funzione ( a meno di semplici casi) ponendo $ z=f(x-tv)=c $ ma come faccio a studiare tale funzione se non so l'andamento di $ f(x-tv) $ ??
Sono presenti anche le soluzioni viene semplicemente detto: Sono rette di equazione $ x-vt=k $ (costante); senza considerare la $ f $.
Grazie in anticipo.
Risposte
La domanda è bastantemente mal posta (e per questo bisognerebbe conoscere le risposte che vengono proposte come alternative), ma comunque... Immagina che \(c\) sia fissato in modo che l'equazione \(f(u)=c\) abbia unica soluzione: in tal caso, com'è fatta la linea di livello di equazione \(f(x-vt)=c\)?
Se $ f(u)=f(x-vt)=c $ avesse una sola soluzione dovrebbe essere una retta 
? Come faccio in ogni caso a sapere che ho una ed una sola soluzione?
Comunque le alternative erano:
a)rette parallele
b)rette per l'origine
c)parabole
d)circonferenze
? Come faccio in ogni caso a sapere che ho una ed una sola soluzione?Comunque le alternative erano:
a)rette parallele
b)rette per l'origine
c)parabole
d)circonferenze
Non puoi sapere che ci sia solo una retta, a meno che non sia specificato che la funzione è iniettiva, ma non l'ho visto scritto.
Infatti anche "rette parallele" può essere una valida risposta.
Infatti anche "rette parallele" può essere una valida risposta.
Quindi l'esercizio è mal posto e non posso affermare niente ?
Guarda, è molto semplice sai.
Forse pensi a chissà quali teoremi applicare, ma invece serve solo il buon senso e le nozioni di base.
Se ho $y = f(\chi)$ e fisso $y=k$, una costante, ammettiamo che ci sia un certo valore $\chi=m$ tale che $f(m)=k$.
Ora, immagina che nella funzione, dovunque c'è scritto $\chi$, scrivo $x-vt$.
Ora diventa una funzione di due variabili, ma il "nucleo", il "cuore" della funzione è sempre quello di una funzione a una variabile.
Tutti i valori $x-vt=m$, solo linee di livello, perchè la funzione è costante su tali linee. Quindi tutte le rette $x-vt=m$ sono linee di livello, cioè sto dicendo la stessa cosa della risposta all'esercizio.
Prova con un esempio:
$f(\chi)=ln(\chi-100)+(\chi^4-artcan(\sqrt\chi))^\sqrt\chi$.
Ora sostituisco a $\chi$ la scritta $x-vt$
$f(x-vt)=ln(x-vt-100)+((x-vt)^4-artcan(\sqrt(x-vt)))^\sqrt(x-vt)$.
Prova a convincerti che le linee di livello di questa ultima funzione sono rette.
Non importa come è fatta la funzione, può essere anche molto più complicata, non voglio neanche vedere il suo grafico.
Le rette $x-vt=m$, per ogni $m$, sono linee di livello.
Forse pensi a chissà quali teoremi applicare, ma invece serve solo il buon senso e le nozioni di base.
Se ho $y = f(\chi)$ e fisso $y=k$, una costante, ammettiamo che ci sia un certo valore $\chi=m$ tale che $f(m)=k$.
Ora, immagina che nella funzione, dovunque c'è scritto $\chi$, scrivo $x-vt$.
Ora diventa una funzione di due variabili, ma il "nucleo", il "cuore" della funzione è sempre quello di una funzione a una variabile.
Tutti i valori $x-vt=m$, solo linee di livello, perchè la funzione è costante su tali linee. Quindi tutte le rette $x-vt=m$ sono linee di livello, cioè sto dicendo la stessa cosa della risposta all'esercizio.
Prova con un esempio:
$f(\chi)=ln(\chi-100)+(\chi^4-artcan(\sqrt\chi))^\sqrt\chi$.
Ora sostituisco a $\chi$ la scritta $x-vt$
$f(x-vt)=ln(x-vt-100)+((x-vt)^4-artcan(\sqrt(x-vt)))^\sqrt(x-vt)$.
Prova a convincerti che le linee di livello di questa ultima funzione sono rette.
Non importa come è fatta la funzione, può essere anche molto più complicata, non voglio neanche vedere il suo grafico.
Le rette $x-vt=m$, per ogni $m$, sono linee di livello.
Grazie mille!!
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