Esercizio limiti notevoli

[Pancy000]

Ciao!
Sto iniziando a fare degli esercizi sul calcolo delle forme indeterminate con i limiti notevoli... mi date un parere su questo esercizio?
Ho il limite (di x che tende a 0) $lim(e^(2x)-1)/(3x)$
Io lo affronterei utilizzando il limite notevole esponenziale in forma generica e sfrutterei l'equivalenza asintotica $e^f(x) - 1 = f(x)$ , ottenendo così $lim(2x)/(3x) = 2/3$
Il risultato mi torna, ma il procedimento lo faccio giusto?
Grazie...!

[Mino_01]

Buona sera
dato che

$lim_(x -> 0)(a^x-1)/x=loga$

Più immediatamente il risultato .. No?

[Pancy000]

Mmmmmm, sinceramente non lo so... il risultato del limite che mi dice il libro è $2/3$, quindi il mio risultato tornerebbe!
E' quello che c'è in mezzo che non so quanto sia giusto...
Principalmente, mi è venuto un dubbio (forse scemo, ma studiando da autodidatta a volte mi vengono in mente cose strane...): nella formula generica del limite notevole esponenziale, parla di un "f(x)" all'esponente e uno al denominatore. Le due f(x) devono essere uguali?? Oppure è solo una forma generica per indicare qualsiasi cosa contenente una x? Per intenderci, considerando il testo del mio esercizio, per poter applicare direttamente il limite notevole esponenziale dovrebbe esserci sia all'esponente che al denominatore 2x?

[Mino_01]

Signorina Francesca
io farei cosi: da sopra

$ a=e^2 $
ovvero riesce:
$ lim_(x -> 0)((e^2)^x-1)/(3x)=1/3loge^2 $

ed è tutto.

[Mino_01]

Una tabella con i limiti notevoli e con procedure di calcolo possono essere viste per esempio
a pag. 216 di Renato Fiorenza - Donato Greco "Lezioni di Analisi Matematica " vol 1...

Peraltro figura un importantissimo teorema sui limiti delle funzioni composte (utilissimo) pag. 177...

Cordiali Saluti
Mino

[Mino_01]

In effetti signorina Francesca
può tenere presente che

$ 2/3(e^y-1)/y*2x $

è la sua funzione (il puntino è la composizione funzionale) ...

da cui può applicare il limite delle funzioni composte conoscento il limite notevole citato sopra ...

[Pancy000]

Buongiorno Mino,
per quanto riguarda il suo primo messaggio...

"Mino_01":Signorina Francesca
io farei cosi: da sopra

$ a=e^2 $
ovvero riesce:
$ lim_(x -> 0)((e^2)^x-1)/(3x)=1/3loge^2 $

ed è tutto.

...ho capito il suo ragionamento, ma il risultato del limite dovrebbe essere $2/3$ ... risultato che mi viene esatto applicando il limite notevole esponenziale. Quindi non so proprio cosa pensare...
Grazie comunque anche per i consigli sul libro, non ce l'ho ma me lo procuro!

Lei o qualcun'altro del forum, riuscite a togliermi il "dobbio scemo" che ho scritto prima??

[Mino_01]

Esatto:

$ 1/3loge^2=2/3loge=2/3*1 $

ed è tutto!

[Pancy000]

Grazie Mino, ora mi è chiaro il suo procedimento!!
Devi scusarmi ma son proprio agli inizi e spesso non so dove mettere le mani...
Un'ultima cosa: quindi il procedimento che avevo ipotizzato io, questo ...

"Francesca.S":Io lo affronterei utilizzando il limite notevole esponenziale in forma generica e sfrutterei l'equivalenza asintotica $e^f(x) - 1 = f(x)$ , che quindi nel mio limite porterebbe a $e^(2x)-1=2x$ , ottenendo così $lim(2x)/(3x) = 2/3$

... non è proprio corretto? O può essere comunque un metodo accettabile?

[anto_zoolander]

$lim_(x->0)(e^(2x)-1)/(3x)$

moltiplichiamo numeratore e denominatore per $2$ e cerchiamo di riportarci al limite notevole.

$lim_(x->0)(2*(e^(2x)-1))/(2*3x)$

$lim_(x->0)2/3*(e^(2x)-1)/(2x)$

applichiamo $2x=y$ e $y->0$ se $x->0$

$2/3*lim_(y->0)(e^y-1)/y$

$2/3*1$

L'esponente della $e$ e il denominatore devono essere sì uguali.
Però agisci sempre sul denominatore alla fine, infatti devi far spuntare a denominatore quello che c'è come esponente della $e$

Considera che la dimostrazione del limite è questa, per farti un'idea:

dimostrazione

$lim_(x->0)(a^x-1)/(x)$

Notiamo che e dovendo essere $a>0, ane1$ si può avere l'uguaglianza $a=e^lna$ è verificata

$lim_(x->0)(e^(xlna)-1)/(x)$

moltiplichiamo e dividiamo per $lna$ che non è mai nulla

$lim_(x->0)(e^(xlna)-1)/(xlna)*lna$

$xlna=y$ e notiamo se $x->0$ allora $y->0$

$lna*lim_(y->0)(e^y-1)/y$

Poniamo $e^y-1=z$ ovvero $y=ln(z+1)$

anche qui se $y->0$ allora $z->0$

$lna*lim_(z->0)z/(ln(z+1))$

$lna*lim_(z->0)1/(ln(z+1)/z)$

$lna*lim_(z->0)1/(ln(1+z)^(1/z))$

poniamo di nuovo $z=1/p$ e stavolta

se $z->0^+$ allora $p->+infty$

se $z->0^-$ allora $p->-infty$

il risultato dei limiti sarà equivalente

$lna*lim_(p->pminfty)1/(ln(1+1/p)^p)$

notiamo che $lim_(p->pminfty)(1+1/p)^p=e$

viene proprio $lna*lne$ ovvero $lna$

[marco.ceccarelli]

Francesca, spesso vi sono vari modi per risolvere uno stesso limite. Quello che proponi è certamente il più rapido (oltre che ineccepibile).

[Pancy000]

Grazie mille anto_zoolander, ora mi è tutto chiaro:
Il fatto che il risultato tornasse con il mio "procedimento" era solo fortuna
Grazie ancora!

[marco.ceccarelli]

No, è giusto anche il tuo "procedimento". Il risultato non torna a fortuna. @anto_zoolander ha usato i limiti notevoli, te il metodo asintotico (che poi, in fondo, sono la stessa cosa).

[Pancy000]

Bubbino1993, non mi era arrivata la notifica del tuo precedente messaggio e quindi non avevo letto, scusami!
Beneeeeee!! Già ero in crisi perchè tutto quello che avevo studiato finora credevo non fosse giusto e non capivo perchè...
Grazie tantissimo, non immaginate quanto mi state aiutando!! Buona giornata!!