Esercizio limiti e derivate
Salve a tutti qualcuno potrebbe aiutarmi a fare questi esercizi:
1)
$lim_(x->0)(1+e^(1/x)+(e^(1/x))/x)) / (1+e^(1/x))^2$
sia per x che tende a 0+ che a 0-
2)
devo verificare se una funzione è invertibile, so che è invertibile se è iniettiva e suriettiva e una condizione sufficiente per cui sia iniettiva è che sia monotona, ovvero la derivata prima è sempre maggiore di zero o sempre minore di zero.
la mia derivata prima è la seguente:
$e^(x) + 1/(1+x^2)$
in questo caso è possibile vedere se è sempre positiva o sempre negativa se si come?
3) calcolare la derivata prima della seguente funzione
$|x|+(x-1)^(1/x)$
4)limite per x che tende a 0+ e 0- della funzione:
$((x^3)+sen(y^3))/(x^2 + y^2)$
5)risolvere questa equazione:
$log(1-x)-log(x)=0$
Grazie a tutti
1)
$lim_(x->0)(1+e^(1/x)+(e^(1/x))/x)) / (1+e^(1/x))^2$
sia per x che tende a 0+ che a 0-
2)
devo verificare se una funzione è invertibile, so che è invertibile se è iniettiva e suriettiva e una condizione sufficiente per cui sia iniettiva è che sia monotona, ovvero la derivata prima è sempre maggiore di zero o sempre minore di zero.
la mia derivata prima è la seguente:
$e^(x) + 1/(1+x^2)$
in questo caso è possibile vedere se è sempre positiva o sempre negativa se si come?
3) calcolare la derivata prima della seguente funzione
$|x|+(x-1)^(1/x)$
4)limite per x che tende a 0+ e 0- della funzione:
$((x^3)+sen(y^3))/(x^2 + y^2)$
5)risolvere questa equazione:
$log(1-x)-log(x)=0$
Grazie a tutti
Risposte
nel primo esercizio dove nn si visualizza bene la formula tra le due parentesi tonde c'è sono un diviso.
Per il quesito $5$ $log(1-x)-logx=0$ è uguale a $log((1-x)/x)=0$ ora ricordando la definizione di logaritmo la puoi risolvere facilmente...Per il quesito $2$ dovresti porre la derivata maggiore di $0$ e risolvere per via grafica..ma la funzione di partenza qual'era?
Ovviamente per l'equazione devi anche determinare il dominio e vedere se la soluzione è accettabile..lo avevo dato per scontato ma non si sa mai..per l'esercizio $2$ $e^x>(1/(1+x^2))$ per $x>o$ da qui quindi puoi già capire se è monotòna o no..
nel secondo quesito la funzione di partenza è $(e^x)+arctgx$
il quinto è risolto facilmente, grazie
@ jdluk87
N.B. in questo caso va bene, perché il dominio è (0,1), ma in generale bisogna stare attenti all'applicazione delle proprietà del logaritmo, perché, comparendo due argomenti separati in due diversi logaritmi, entrambi devono essere >0, e non solo il loro rapporto (o prodotto, a seconda dei casi).
spero di essere stata utile. ciao.
"Giulio89":
Per il quesito $5$ $log(1-x)-logx=0$ è uguale a $log((1-x)/x)=0$ ora ricordando la definizione di logaritmo la puoi risolvere facilmente...
N.B. in questo caso va bene, perché il dominio è (0,1), ma in generale bisogna stare attenti all'applicazione delle proprietà del logaritmo, perché, comparendo due argomenti separati in due diversi logaritmi, entrambi devono essere >0, e non solo il loro rapporto (o prodotto, a seconda dei casi).
spero di essere stata utile. ciao.
"adaBTTLS":
@ jdluk87
[quote="Giulio89"]Per il quesito $5$ $log(1-x)-logx=0$ è uguale a $log((1-x)/x)=0$ ora ricordando la definizione di logaritmo la puoi risolvere facilmente...
N.B. in questo caso va bene, perché il dominio è (0,1), ma in generale bisogna stare attenti all'applicazione delle proprietà del logaritmo, perché, comparendo due argomenti separati in due diversi logaritmi, entrambi devono essere >0, e non solo il loro rapporto (o prodotto, a seconda dei casi).
spero di essere stata utile. ciao.[/quote]
Infatti il dominio va fatto ancora prima prima di applicare le propietà...
Nel quesito 5 non si poteva fare direttamente, dopo aver trovato il dominio, $log(1-x)=logx$ e quindi $1-x=x$ senza applicazione di proprietà e senza ricorrere allla definizione di logaritmo? Grazie a tutti..
sì, però con verifica finale che x=1/2 è soluzione accettabile.
effettivamente era una semplice equazione, anche se uguagliare gli argomenti presuppone di conoscere diverse proprietà della funzione, tra cui l'iniettività.
ciao.
effettivamente era una semplice equazione, anche se uguagliare gli argomenti presuppone di conoscere diverse proprietà della funzione, tra cui l'iniettività.
ciao.
"Frances_a":
Nel quesito 5 non si poteva fare direttamente, dopo aver trovato il dominio, $log(1-x)=logx$ e quindi $1-x=x$ senza applicazione di proprietà e senza ricorrere allla definizione di logaritmo? Grazie a tutti..
Con i logaritmi (date le loro numerose propietà) c'è quasi sempre più di un modo per risolvere le e equazioni/disequazioni...
Per l'esercizio $4$ dato che $y$ è una semplice costante il limite è $(sen(y^3))/y^2$...
Ok! Grazie di nuovo a tutti e due!
@ Giulio89
si sa che la costante $y != 0$ ?
si sa che la costante $y != 0$ ?
"adaBTTLS":
@ Giulio89
si sa che la costante $y != 0$ ?
Effettivamente no....perdono...bisogna discutere quel caso...
Per $y=0$ il limite è una forma indeterminata del tipo $[0/0]$ quindi con l'Hopital o ragionando sugli infinitesimi...
..giustamente "solo" in quel caso, che però è una banalità.
abbiamo dunque:
${[(sen(y^3))/(y^2) " if " y!=0], [lim_(x->0)\((x^3)/(x^2))=0 " if " y=0] :}$.
spero di non avere sbagliato a copiare il testo, dato che era nell'altra pagiana. ciao.
abbiamo dunque:
${[(sen(y^3))/(y^2) " if " y!=0], [lim_(x->0)\((x^3)/(x^2))=0 " if " y=0] :}$.
spero di non avere sbagliato a copiare il testo, dato che era nell'altra pagiana. ciao.
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