Esercizio: limiti, derivabilità

[Seneca1]

$f : RR -> RR$ , derivabile. Devo dimostrare che se $lim_(x -> +oo) f'(x) = -1$
allora $lim_(x -> +oo) f(x) = - oo$ .

Prima considerazione: per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di $+oo$ in cui la $f$ è decrescente.

Come faccio a concludere che $f$ diverge negativamente?

Intuitivamente è immediato. La $f$ all'infinito ha l'andamento di $- x$, immagino. Ma formalmente...?

Grazie in anticipo.

[Rigel1]

"Seneca":$f : RR -> RR$ , derivabile. Devo dimostrare che se $lim_(x -> +oo) f'(x) = -1$
allora $lim_(x -> +oo) f(x) = - oo$ .

Prima considerazione: per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di $+oo$ in cui la $f$ è decrescente.

Puoi modificare così la tua prima considerazione: esiste un intorno di $+\infty$ dove $f' < -\frac{1}{2}$.

[Seneca1]

Grazie infinite Rigel.

$lim_(x -> +oo) f'(x) = -1 $ se e solo se:

$AA epsilon > 0 , EE U_(+oo)$ tale che $AA x in U_(+oo)$, $ - 1 - epsilon < f'(x) < - 1 + epsilon$

Scelgo $epsilon = -1/2$

allora esiste un $U_(+oo)$ tale che $AA x in U_(+oo)$, $- 3/2 < f'(x) < -1/2$

In $U_(+oo)$ la derivata si mantiene $< - 1/2$

Il fatto che la derivata si mantenga limitata e discosta da $0$ significa che la funzione decresce. Ma questo lo si sapeva già. Bisogna far vedere che non è limitata.

Pensavo di provarlo per assurdo: se fosse limitata esisterebbe $M < 0$ tale che, in un intorno di $+oo$, $f(x) < M$.

Ma non mi viene in mente nulla.

[yellow2]

Ti correggo l'ultima asserzione, che oltre a essere falsa è un po' fuori dall'obiettivo (inoltre c'è un $-$ di troppo nella scelta del valore di $epsilon$, ma quella è solo distrazione ):

Se il limite non fosse $-oo$, esisterebbe $M<0$ tale che, in NESSUN intorno di $+oo$ $f(x)
Comunque non ti serve la dimostrazione per assurdo. Ti do un consiglio: se dimostri che la funzione è piccola a piacere è fatta. Infatti, essendo da un certo punto in poi decrescente, se per ogni $M$ arbitrariamente piccolo sai trovare un $x$ tale che $f(x)

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[Fioravante Patrone1]

"Seneca":
Ma non mi viene in mente nulla.

Lagrange. Che era scritto "tra la riga" di quanto detto da Rigel.

[Seneca1]

Ho scritto un po' di pasticci. Scusate la stanchezza e le sviste.

Grazie ad entrambi.

[Seneca1]

Ci ho pensato un bel po', ma continua a rimanermi oscuro "come" applicare Lagrange. Quale intervallo prendo?

Potrei dire che $AA x_1 , x_2 in U_(+oo) , EE xi in ] x_1 , x_2 [ : f'(xi) = (f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2 ) < - 1/2$

Il che significa che comunque scelga un intervallo nell'intorno di infinito che ho considerato, so che la retta che passa per i punti $(x_1 , f(x_1))$, $(x_2 , f(x_2))$ ha una pendenza maggiore (in modulo) rispetto a $y = - 1/2 x$. Ma è utile questa considerazione geometrica?

[Fioravante Patrone1]

"Seneca":Ci ho pensato un bel po', ma continua a rimanermi oscuro "come" applicare Lagrange. Quale intervallo prendo?

Potrei dire che $AA x_1 , x_2 in U_(+oo) , EE xi in ] x_1 , x_2 [ : f'(xi) = (f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2 ) < - 1/2$

Il che significa che comunque scelga un intervallo nell'intorno di infinito che ho considerato, so che la retta che passa per i punti $(x_1 , f(x_1))$, $(x_2 , f(x_2))$ ha una pendenza maggiore (in modulo) rispetto a $y = - 1/2 x$. Ma è utile questa considerazione geometrica?

Proviamo a "illuminare" Lagrange

Allora, tu sai che esiste $\bar x$ t.c. per $x > \bar x$ la derivata di $f$ è minore o uguale di -1/2.
Prenditi un $x_0 > \bar x$ ed applica Lagrange "a partire da" $x_0$ (e $x > x_0$, naturalmente!):

$f(x) = f(x_0) + f'(xi) (x - x_0)$

Ma $f'(xi) \le -1/2$, quindi:

$f(x) = f(x_0) + f'(xi) (x - x_0) \le f(x_0) - 1/2 (x - x_0)$
Ora, la funzione a destra va a meno infinito e quindi anche $f$ per il teorema del confronto (o teorema dell'unico carabiniere ).

[Seneca1]

Uh, grazie. Chiarissima delucidazione.

In sostanza applico Lagrange ad un intervallo contenuto nell'intorno di infinito per cui risulta $f' < -1 /2$.

Poi manipolo $f'(xi)$ e ottengo una espressione della $f$. Questa $f$ ($f(x) = f(x_0) + f'(xi) (x - x_0)$ ) è però una retta, quella che passa per $(x_0 , f(x_0))$ e con coefficiente angolare $f'(xi)$. Non è proprio la mia funzione.

Non ho capito cosa succede nella fattispecie: cosa ottengo quando manipolo la tesi del teorema di Lagrange? $f'(xi) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0 )$

[Rigel1]

Grosso modo il concetto è il seguente.

Se $f' < -1/2$ in $[x_0, +\infty)$, allora la funzione decresce più rapidamente della retta passante per $(x_0, f(x_0))$ e avente coefficiente angolare $-1/2$; in particolare il grafico di $f$ resta sotto al grafico di tale retta.
Si tratta solo di dimostrare questa "intuizione".
Si tratta di convertire informazioni sulla derivata (che sono, per definizione, di tipo locale) in informazioni di tipo globale; lo strumento più semplice è proprio il teorema di Lagrange.
Per ogni $x> x_0$ applichiamo dunque tale teorema nell'intervallo $[x_0, x]$, ottenendo l'esistenza di un punto $\xi\in (x_0, x)$ tale che
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi) < -\frac{1}{2}$;
da qui segue in particolare che
$f(x) < f(x_0) -\frac{x-x_0}{2}$, per ogni $x>x_0$.

[yellow2]

Non è una retta, perchè per ogni $x$ trovi una $xi$ diversa. Ed è più bella la conclusione con il mono-carabiniere rispetto a quella che avevo suggerito io.

[Fioravante Patrone1]

"Seneca":Poi manipolo $f'(xi)$ e ottengo una espressione della $f$.

No, attenzione. Il tuo punto di vista è sbagliato. Meglio, non descrive affatto quello che ho fatto io. Tendo a ritenere che sia forse più un modo poco corretto di esprimere, da parte tua, quello che intendevi dire. Ma è importante la precisione di linguaggio in matematica.

Io non ho "manipolato" $f'(xi)$. Ho solo usato il fatto che nell'intervallo convenientemente scelto si ha $f'(xi) \le -1/2$.

La "espressione della $f$" che ho usato, non deriva da una "manipolazione" né dalla disuguaglianza sopra ricordata: si tratta, sic et simpliciter, della formula data dal teorema di Lagrange.

Dopo che ho:
- la formula data dal teorema di Lagrange
- la disuguaglianza sopra ricordata
posso fare una (semplice) opportuna minorazione e ottenere che la $f$ sta sotto a una funzione (il cui grafico è una retta) che va a meno infinito per $x \to oo$.

PS, @yellow: il mono-carabiniere ringrazia e saluta

[Seneca1]

"Rigel":
Si tratta di convertire informazioni sulla derivata (che sono, per definizione, di tipo locale) in informazioni di tipo globale; lo strumento più semplice è proprio il teorema di Lagrange.

Questo era esattamente il mio interrogativo più cruciale.


Grazie a tutti degli aiuti.